27 基底の変換

ベクトル空間の基底の取り方は一意ではないので， あるベクトル空間 $V$ に対して

$$V=< \vec{u}_{1}, \vec{u}_{2}, \cdots, \vec{u}_{n}, >= < \vec{u}'_{1}, \vec{u}'_{2}, \cdots, \vec{u}'_{n}, >$$

が成り立つ． ここで $\{\vec{u}_{1}$, $\vec{u}_{2}$, $\cdots$, $\vec{u}_{n}\}$ と $\{\vec{u}'_{1}$, $\vec{u}'_{2}$, $\cdots$, $\vec{u}'_{n}\}$ とは 異なる基底の組である． 片方の組を基底とみなせば片方は 1 次従属なベクトルであるから，

$$\vec{u}'_{1} = p_{11}\vec{u}_{1}+p_{11}\vec{u}_{2}+\cdots+p_{n1}\vec{u}_{n}$$

$$\vec{u}'_{2} = p_{12}\vec{u}_{1}+p_{12}\vec{u}_{2}+\cdots+p_{n2}\vec{u}_{n}$$

$$\vdots$$

$$\vec{u}'_{n} = p_{1n}\vec{u}_{1}+p_{1n}\vec{u}_{2}+\cdots+p_{nn}\vec{u}_{n}$$

と書ける． ここで $p_{ij}$ はある定数である． この関係式は

$$\begin{bmatrix}\vec{u}'_{1} & \vec{u}'_{2} & \cdots & \vec{u}'_{n... ...}_{n} \end{bmatrix}P, \qquad P= \begin{bmatrix}p_{ij} \end{bmatrix}_{n\times n}$$

とも表される．

定義 1.123 (基底の変換行列)   ベクトル空間 $V$ の基底 $\{\vec{u}_{1}$, $\vec{u}_{2}$, $\cdots$, $\vec{u}_{n}\}$ と $\{\vec{u}'_{1}$, $\vec{u}'_{2}$, $\cdots$, $\vec{u}'_{n}\}$ に対して

$$\begin{bmatrix}\vec{u}'_{1} & \vec{u}'_{2} & \cdots & \vec{u}'_{n... ... \begin{bmatrix}\vec{u}_{1} & \vec{u}_{2} & \cdots & \vec{u}_{n} \end{bmatrix}P$$

をみたす行列 $P$ を基底の変換行列という．

定理 1.124 (基底の変換行列の正則性)   基底の変換行列は正則である．

例 1.125 (基底の変換行列の具体例)  

$$\mathbb{R}^{2}= <\vec{u}_{1},\vec{u}_{2}>= <\vec{e}_{1},\vec{e}_{... ...x}1 \\ 1 \end{bmatrix}, \quad \vec{u}_{2}= \begin{bmatrix}1 \\ -1 \end{bmatrix}$$

を考える． このとき

$$\begin{bmatrix}\vec{u}_{1} & \vec{u}_{2} \end{bmatrix}= \begin{bmatrix}\vec{e}_{1} & \vec{e}_{2} \end{bmatrix} P$$

をみたす基底の変換行列 $P$ を求める． 標準基底 $\vec{e}_{1}$, $\vec{e}_{2}$ を列ベクトルに並べた行列は 単位行列 $E$ となるので，

$$\begin{bmatrix}1 & 1 \\ 1 & -1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix}\ve... ...vec{e}_{2} \end{bmatrix} P = \begin{bmatrix}1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} P=EP=P$$

を得る．

例 1.126 (基底の変換行列の具体例)  

$$\mathbb{R}^{2}= <\vec{u}_{1},\vec{u}_{2}>= <\vec{v}_{1},\vec{v}_{2}>,$$

$$\vec{u}_{1}= \begin{bmatrix}1 \\ 1 \end{bmatrix}, \vec{u}_{2}= \b... ...bmatrix}2 \\ 1 \end{bmatrix}, \vec{v}_{2}= \begin{bmatrix}3 \\ -1 \end{bmatrix}$$

を考える． 基底 $\{\vec{u}_{1},\vec{u}_{2}\}$ に対する $\{\vec{v}_{1},\vec{v}_{2}\}$ の変換行列を $R$ とおく． つまり，

$$\begin{bmatrix}\vec{v}_{1} & \vec{v}_{2} \end{bmatrix}= \begin{bmatrix}\vec{u}_{1} & \vec{u}_{2} \end{bmatrix}R$$

をみたす行列 $R$ を求める． まず，標準基底 $\{\vec{e}_{1},\vec{e}_{2}\}$ に対する 基底 $\{\vec{u}_{1},\vec{u}_{2}\}$ と $\{\vec{v}_{1},\vec{v}_{2}\}$ の変換行列を $P$, $Q$ とおく． すなわち，

$$\begin{bmatrix}\vec{u}_{1} & \vec{u}_{2} \end{bmatrix}= \begin{bm... ...2} \end{bmatrix}= \begin{bmatrix}\vec{e}_{1} & \vec{e}_{2} \end{bmatrix}Q= EQ=Q$$

が成立する．基底の変換行列は正則であるから，

$$\begin{bmatrix}\vec{e}_{1} & \vec{e}_{2} \end{bmatrix}= \begin{bm... ...{2} \end{bmatrix}= \begin{bmatrix}\vec{v}_{1} & \vec{v}_{2} \end{bmatrix}Q^{-1}$$

を得る．これらより，

$$\begin{bmatrix}\vec{v}_{1} & \vec{v}_{2} \end{bmatrix}Q^{-1} = \begin{bmatrix}\vec{u}_{1} & \vec{u}_{2} \end{bmatrix}P^{-1}$$

$$\begin{bmatrix}\vec{v}_{1} & \vec{v}_{2} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix}\vec{u}_{1} & \vec{u}_{2} \end{bmatrix}P^{-1}Q$$

と表される． よって

$$R=P^{-1}Q= \begin{bmatrix}1 & 1 \\ 1 & -1 \end{bmatrix}^{-1} \beg... ...\ 1 & -1 \end{bmatrix}= \frac{1}{2} \begin{bmatrix}3 & 2 \\ 1 & 2 \end{bmatrix}$$

を得る．

Kondo Koichi
Created at 2004/12/13