26 直交補空間

定義 1.115 (ベクトルと部分空間の直交)   ベクトル $\vec{a}\in V$ と 部分空間 $W\subset V$ に含まれるすべてのベクトル $\vec{x}$ とが 直交するとき，すなわち

$$(\vec{a},\vec{x})=0, \qquad \forall \vec{x}\in W$$

が成り立つとき， $\vec{a}$ と $W$ とは直交するといい，

$$\vec{a}\perp W$$

と表記する．

例 1.116 (ベクトルと部分空間とが直交する具体例)   $\mathbb{R}^3$ の部分空間

$$W=\{\vec{x}\in \mathbb{R}^3\,\vert\, x_{1}+x_{2}+x_{3}=0 \}$$

とベクトル $\vec{a}={\begin{bmatrix}1 & 1 & 1\end{bmatrix}}^{T}$ と は直交 $\vec{a}\perp W$ する． なぜなら，$W$ は方程式 $(\vec{a},\vec{x})=0$ の 解空間として表されるからである． この例では $W$ は平面であり $\vec{a}$ は法線ベクトルである．

定義 1.117 (直交補空間)   ベクトル空間 $V$ とその部分空間 $W$ に対して， 部分空間

$$W^{\perp}= \left\{ \vec{a}\in V \,\vert\, \vec{a}\perp W \right\}$$

を $V$ における $W$ の直交補空間という．

定理 1.118 (直交補空間による直和分解)   ベクトル空間 $V$ における部分空間 $W$ の直交補空間 $W^\perp$ は

$$V =W\oplus W^{\perp}$$

となる．次元は

$$\dim V =\dim W+\dim W^\perp$$

の関係が成り立つ．

定理 1.119 (直交補空間の次元)   部分空間

$$W=\left< \vec{u}_{1}, \vec{u}_{2}, \cdots, \vec{u}_{n} \right>$$

の次元は

$$\dim W=\mathrm{rank}\,A$$

である．ただし，

$$A= \begin{bmatrix}\vec{u}_{1} & \vec{u}_{2} & \cdots & \vec{u}_{n} \end{bmatrix}$$

とおく． $W$ の直交補空間 $W^{\perp}$ は 方程式 ${A}^{T}\vec{x}=\vec{0}$ の解空間であり，

$$W^{\perp}= \left\{ \left. \vec{x}\,\right\vert\, {A}^{T}\vec{x}=\vec{0}\right\}$$

となり，次元は

$$\dim W^{\perp}=n-\mathrm{rank}\,A$$

である．

例 1.120 (直交補空間の具体例)   部分空間

$$\mathbb{R}^3\supset W= \left< \begin{bmatrix}1 \\ 1 \\ 0 \end{bma... ...{ \left. c_1\vec{a}_1+c_2\vec{a}_2 \,\right\vert\, c_1,c_2\in\mathbb{R}\right\}$$

に対する直交補空間 $W^\perp$ を求める． $W^\perp$ の任意のベクトルを $\vec{x}$ とする． $x$ は $W$ の任意のベクトル $\vec{v}=c_1\vec{a}_1+c_2\vec{a}_2$ と 直交するので $(\vec{v},\vec{x})=0$ が成り立つ． こりより，

$$(\vec{v},\vec{x})= (c_1\vec{a}_1+c_2\vec{a}_2,\vec{x})= c_1(\vec{a}_1,\vec{x})+c_2(\vec{a}_2,\vec{x})=0$$

と表される． すべての $c_1$, $c_2$ について成り立つためには

$$(\vec{a}_1,\vec{x})=0, \quad (\vec{a}_2,\vec{x})=0$$

をみたさなければならない． この連立方程式を書き直すと

$${\vec{a}_1}^{T}\vec{x}=0, \quad {\vec{a}_2}^{T}\vec{x}=0$$

であり，

$$\begin{bmatrix}{\vec{a}_1}^{T} \\ {\vec{a}_2}^{T} \end{bmatrix} \... ...T}\vec{x}=\vec{0}, \qquad A= \begin{bmatrix}\vec{a}_1 & \vec{a}_2 \end{bmatrix}$$

となる． これを解く． 係数行列を簡約化すると

$${A}^{T}= \begin{bmatrix}{\vec{a}_1}^{T} \\ {\vec{a}_2}^{T} \end{b... ... & 1 & 1 \end{bmatrix} \to \begin{bmatrix}1 & 0 & -1 \\ 0 & 1 & 1 \end{bmatrix}$$

となるので，解は

$$\vec{x}= c \begin{bmatrix}1 \\ -1 \\ 1 \end{bmatrix} = c\,\vec{a}_3, \qquad \forall c\in\mathbb{R}$$

となる． よって，直交補空間は

$$W^{\perp}= \left\{ \left. \vec{x}\in\mathbb{R}^3 \,\right\vert\, ... ... \vec{a}_{3} \right> = \left< \begin{bmatrix}1 \\ -1 \\ 1 \end{bmatrix} \right>$$

と得られる．

$W$ の基底 $\vec{a}_1,\vec{a}_2$ と $W^\perp$ の基底 $\vec{a}_3$ とは 1 次独立である． よって $W\cap W^\perp=\{\vec{0}\}$ であるので，

$$\mathbb{R}^3=W\oplus W^\perp, \qquad 3=\dim\mathbb{R}^3= \dim W+\dim W^\perp= 2+1$$

が成り立つ． また $\vec{a}_1$, $\vec{a}_2$, $\vec{a}_3$ は $\mathbb{R}^3$ の 基底となることに注意する． つまり

$$W=<\vec{a}_1,\vec{a}_2>, \quad W^\perp=<\vec{a}_3>, \quad \mathbb{R}^3= <\vec{a}_1,\vec{a}_2,\vec{a}_3>$$

である．

例 1.121 (直交補空間の具体例)   ベクトル $\vec{u}_1,\vec{u}_2,\vec{u}_3,\vec{u}_4$ を 正規直交基底とする． このとき

$$\mathbb{R}^4=<\vec{u}_1,\vec{u}_2,\vec{u}_3,\vec{u}_4>= <\vec{u}_1>\oplus <\vec{u}_2,\vec{u}_3,\vec{u}_4>$$

が成り立つ． ここで

$$W_1=<\vec{u}_1>, \qquad W_{234}=<\vec{u}_2,\vec{u}_3,\vec{u}_4>$$

とおくと， $W_{234}$ は $\mathbb{R}^4$ における $W_{1}$ の直交補空間となる． なぜなら任意のベクトル $\vec{x}\in W_1$, $\vec{y}\in W_{234}$ に対して

$$(\vec{x},\vec{y})= (c_1\vec{u}_{1},c_{2}\vec{u}_2+c_{3}\vec{u}_3+... ...vec{u}_2)+ c_1c_{3}(\vec{u}_{1},\vec{u}_3)+ c_1c_{4}(\vec{u}_{1},\vec{u}_{4})=0$$

が成り立ち，$\vec{x}$ と $\vec{y}$ は直交するからである． よって

$$\mathbb{R}^4=W_1\oplus W_{234}, \qquad W_1\perp W_{234}$$

であり， $\mathbb{R}^4$ は $W_1$ とその直交補空間 $W_{234}$ に よって直和分解される． 同様に

$$\mathbb{R}^4 =W_1\oplus W_{234},\qquad W_{1}\perp W_{234}$$

$$=W_2\oplus W_{134},\qquad W_{2}\perp W_{134}$$

$$=W_3\oplus W_{124},\qquad W_{3}\perp W_{124}$$

$$=W_{12}\oplus W_{34},\qquad W_{12}\perp W_{34}$$

$$=W_{13}\oplus W_{24},\qquad W_{13}\perp W_{24}$$

$$=W_{14}\oplus W_{23},\qquad W_{14}\perp W_{23}$$

と部分空間とのその直交補空間とで直和分解される． ただし，

$$W_{i}=<\vec{u}_i>,\quad W_{ij}=<\vec{u}_i,\vec{u}_j>,\quad W_{ijk}=<\vec{u}_i,\vec{u}_j,\vec{u}_k>$$

とおく．

例 1.122 (直交補空間の具体例)   正規直交基底 $\vec{u}_{1},\cdots,\vec{u}_{n}$ で 生成されるベクトル空間

$$V=<\vec{u}_{1},\vec{u}_{2},\cdots, \vec{u}_{k},\vec{u}_{k+1},\cdots,\vec{u}_{n}>$$

を考える．このとき $V$ は直和分解されて

$$V=W_{1}\oplus V_1, \qquad W_{1}=<\vec{u}_{1},\vec{u}_{2},\cdots,\vec{u}_{k}>, \quad V_1=<\vec{u}_{k+1},\cdots,\vec{u}_{n}>$$

と表される． $V_1$ は $V$ における $W_1$ の直交補空間である． さらに $V_1$ を直和分解して

$$V_1=W_{2}\oplus V_2, \qquad W_{2}=<\vec{u}_{k+1},\vec{u}_{k+2},\cdots,\vec{u}_{l}>, \quad V_2=<\vec{u}_{l+1},\cdots,\vec{u}_{n}>, \qquad k<l$$

と表される． $V_2$ は $V_1$ における $W_2$ の直交補空間である． 同様に繰り返して直交補空間で直和分解が可能である：

$$V=W_{1}\oplus V_1 =W_{1}\oplus(W_2\oplus V_2) =W_{1}\oplus(W_2\oplus(W_3\oplus V_3)) =\cdots.$$

Kondo Koichi
Created at 2004/12/13