![]()
![]()
![]()
![]()
Next: 8 線形変換 Up: 2 線形写像 Previous: 6 線形写像の行列表示   Contents
7 線形写像の表現行列
定義 2.31 (線形写像の表現行列) ベクトル空間の基底を
とし, ベクトル空間
の基底を
とする. このとき, 線形写像
が
をみたすとき, 行列を
の基底
と
の基底
に関する 表現行列という.
注意 2.32 (表現行列) 前節の表現行列の定義では, 線形写像が
と表されるとき
を表現行列と呼ぶ,というものであった. この行列
と本節の定義による表現行列
とは 基底を標準基底にとるとき一致する.
線形写像
を考える.
の標準基底を
とし,
の標準基底を
とおく. このとき,本節の表現行列の定義より
が成り立つ.の任意のベクトル
をで写すと
となる.と
は一致する.
例 2.33 (表現行列の具体例) 線形写像;
を考える. 標準基底を
とする. このとき,
である.よって
が成立する. 線形写像の標準基底における表現行列は
である.
注意 2.34 (表現行列) 線形写像の標準基底に おける表現行列は
である.
定理 2.35 (基底を取り換えたときの表現行列) 線形写像の
の基底
,
,
,
と
の基底
,
,
,
に 関する表現行列を
とする. すなわち,
とする.の基底
,
,
,
と
の基底
,
,
,
に 関する表現行列を
とする. すなわち,
とする. このとき
が成り立つ. ここで,
は基底の変換行列であり,
である.
(証明)
また,
よって,
が成り立つ.
例 2.36 (基底を取り換えたときの表現行列の具体例) 線形写像;
を考える.の基底を
とし,の基底を
とする.の基底
と 基底
に関する 表現行列
を求める. なすわち,
をみたすを求める. まず,
の 標準基底
と
の 標準基底
を考える. このとき,標準基底における
の表現行列は
であるから,
が成り立つ. つぎに,基底の変換行列は
である. 以上より,
が成り立つ. よって,
を得る.
![]()
![]()
![]()
![]()
Next: 8 線形変換 Up: 2 線形写像 Previous: 6 線形写像の行列表示   ContentsKondo Koichi
![]()
![]()
Created at 2004/12/13