7 線形写像の表現行列

定義 2.31 (線形写像の表現行列)   ベクトル空間 $U$ の基底を $\{\vec{u}_{1},\vec{u}_{2},\cdots,\vec{u}_{n}\}$ とし， ベクトル空間 $V$ の基底を $\{\vec{v}_{1},\vec{v}_{2},\cdots,\vec{v}_{m}\}$ とする． このとき， 線形写像 $f:U\to V$ が

$$\begin{bmatrix}f(\vec{u}_{1}) & f(\vec{u}_{2}) & \cdots & f(\vec{... ...v}_{1} & \vec{v}_{2} & \cdots & \vec{v}_{m} \end{bmatrix} A, \qquad A:m\times n$$

をみたすとき， 行列 $A$ を $U$ の基底 $\{\vec{u}_{1},\vec{u}_{2},\cdots,\vec{u}_{n}\}$ と $V$ の基底 $\{\vec{v}_{1},\vec{v}_{2},\cdots,\vec{v}_{m}\}$ に関する 表現行列という．

注意 2.32 (表現行列)   前節の表現行列の定義では， 線形写像 $f:\mathbb{R}^{n}\to\mathbb{R}^{m}$ が $\vec{y}=f(\vec{x})=\tilde{A}\vec{x}$ と表されるとき $\tilde{A}$ を表現行列と呼ぶ，というものであった． この行列 $\tilde{A}$ と本節の定義による表現行列 $A$ とは 基底を標準基底にとるとき一致する．

線形写像 $f:\mathbb{R}^{n}\to\mathbb{R}^{m}$ を考える． $\mathbb{R}^{n}$ の標準基底を $\vec{e}_{1},\vec{e}_{2},\cdots,\vec{e}_{n}$ とし， $\mathbb{R}^{m}$ の標準基底を $\vec{e}'_{1},\vec{e}'_{2},\cdots,\vec{e}'_{m}$ とおく． このとき，本節の表現行列の定義より

$$\begin{bmatrix}f(\vec{e}_{1}) & f(\vec{e}_{2}) & \cdots & f(\vec{... ...matrix}\vec{e}'_{1} & \vec{e}'_{2} & \cdots & \vec{e}'_{m} \end{bmatrix} A=EA=A$$

が成り立つ． $\mathbb{R}^{n}$ の任意のベクトル

$$\vec{x}= x_{1}\vec{e}_{1}+ x_{2}\vec{e}_{2}+ \cdots+ x_{n}\vec{e}_{n}$$

を $f$ で写すと

$$\vec{y} =f(\vec{x})= f(x_{1}\vec{e}_{1}+x_{2}\vec{e}_{2}+\cdots+x_{n}\vec{e}_{n})$$

$$= x_{1}f(\vec{e}_{1})+x_{2}f(\vec{e}_{2})+\cdots+x_{n}f(\vec{e}_{n})$$

$$= \begin{bmatrix}f(\vec{e}_{1}) & f(\vec{e}_{2}) & \cdots & f(\ve... ...}) \end{bmatrix} \begin{bmatrix}x_{1} \\ x_{2} \\ \vdots \\ x_{n} \end{bmatrix}$$

$$=A\vec{x}=\tilde{A}\vec{x}$$

となる．$A$ と $\tilde{A}$ は一致する．

例 2.33 (表現行列の具体例)   線形写像 $f:\mathbb{R}^{2}\to\mathbb{R}^{3}$;

$$\vec{y}=f(\vec{x})=A\vec{x}= \begin{bmatrix}2 & 1 \\ 1 & 0 \\ 4 & 3 \end{bmatrix} \vec{x}$$

を考える． 標準基底を

$$\mathbb{R}^{2}\ni \vec{e}_{1}= \begin{bmatrix}1 \\ 0 \end{bmatrix... ...\\ 1 \\ 0 \end{bmatrix}, \vec{e}'_{3}= \begin{bmatrix}0 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix}$$

とする． このとき，

$$f(\vec{e}_{1})=A\vec{e}_{1}= \begin{bmatrix}2 & 1 \\ 1 & 0 \\ 4 &... ...n{bmatrix}2 \\ 1 \\ 4 \end{bmatrix} = 2\vec{e}'_{1}+\vec{e}'_{2}+4\vec{e}'_{3},$$

$$f(\vec{e}_{3})=A\vec{e}_{2}= \begin{bmatrix}2 & 1 \\ 1 & 0 \\ 4 &... ...bmatrix} = \begin{bmatrix}1 \\ 0 \\ 3 \end{bmatrix} = \vec{e}'_{1}+\vec{e}'_{3}$$

である．よって

$$\begin{bmatrix}f(\vec{e}_{1}) & f(\vec{e}_{2}) \end{bmatrix} = \b... ...ix} = \begin{bmatrix}\vec{e}'_{1} & \vec{e}'_{2} & \vec{e}'_{3} \end{bmatrix} A$$

が成立する． 線形写像 $f$ の標準基底における表現行列は $A$ である．

注意 2.34 (表現行列)   線形写像 $\vec{y}=f(\vec{x})=A\vec{x}$ の標準基底に おける表現行列は $A$ である．

定理 2.35 (基底を取り換えたときの表現行列)   線形写像 $f:U\to V$ の $U$ の基底 $\{\vec{u}_{1}$, $\vec{u}_{2}$, $\cdots$, $\vec{u}_{n}\}$ と $V$ の基底 $\{\vec{v}_{1}$, $\vec{v}_{2}$, $\cdots$, $\vec{v}_{m}\}$ に 関する表現行列を $A$ とする． すなわち，

$$\begin{bmatrix}f(\vec{u}_{1}) & f(\vec{u}_{2}) & \cdots & f(\vec{... ...\begin{bmatrix}\vec{v}_{1} & \vec{v}_{2} & \cdots & \vec{v}_{m} \end{bmatrix} A$$

とする． $U$ の基底 $\{\vec{u}'_{1}$, $\vec{u}'_{2}$, $\cdots$, $\vec{u}'_{n}\}$ と $V$ の基底 $\{\vec{v}'_{1}$, $\vec{v}'_{2}$, $\cdots$, $\vec{v}'_{m}\}$ に 関する表現行列を $B$ とする． すなわち，

$$\begin{bmatrix}f(\vec{u}'_{1}) & f(\vec{u}'_{2}) & \cdots & f(\ve... ...gin{bmatrix}\vec{v}'_{1} & \vec{v}'_{2} & \cdots & \vec{v}'_{m} \end{bmatrix} B$$

とする． このとき

$$B=Q^{-1}AP$$

が成り立つ． ここで $P$, $Q$ は基底の変換行列であり，

$$\begin{bmatrix}\vec{u}'_{1} & \vec{u}'_{2} & \cdots & \vec{u}'_{n} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix}\vec{u}_{1} & \vec{u}_{2} & \cdots & \vec{u}_{n} \end{bmatrix}P,$$

$$\begin{bmatrix}\vec{v}'_{1} & \vec{v}'_{2} & \cdots & \vec{v}'_{m} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix}\vec{v}_{1} & \vec{v}_{2} & \cdots & \vec{v}_{m} \end{bmatrix}Q$$

である．

（証明）    

$$\begin{bmatrix}f(\vec{u}'_1) & f(\vec{u}'_2) & \cdots & f(\vec{u}... ...(\sum_{k}p_{k2}\vec{u}'_k) & \cdots & f(\sum_{k}p_{kn}\vec{u}'_k) \end{bmatrix}$$

$$= \begin{bmatrix}\sum_{k}p_{k1}f(\vec{u}'_k) & \sum_{k}p_{k2}f(\vec{u}'_k) & \cdots & \sum_{k}p_{kn}f(\vec{u}'_k) \end{bmatrix}$$

$$= \begin{bmatrix}f(\vec{u}_1) & f(\vec{u}_2) & \cdots & f(\vec{u}_n) \end{bmatrix} P$$

$$= \begin{bmatrix}\vec{v}_1 & \vec{v}_2 & \cdots & \vec{v}_m \end{bmatrix} AP$$

また，

$$\begin{bmatrix}f(\vec{u}'_1) & f(\vec{u}'_2) & \cdots & f(\vec{u}... ... B = \begin{bmatrix}\vec{v}_1 & \vec{v}_2 & \cdots & \vec{v}_m \end{bmatrix} QB$$

よって，

$$AP=QB$$

$$B=Q^{-1}AP$$

が成り立つ．

例 2.36 (基底を取り換えたときの表現行列の具体例)   線形写像 $f:\mathbb{R}^{3}\to\mathbb{R}^{2}$;

$$\vec{y}=f(\vec{x})=A\vec{x}= \begin{bmatrix}2 & 4 & 1 \\ 1 & -1 & 0 \end{bmatrix} \vec{x}$$

を考える． $\mathbb{R}^{3}$ の基底を

$$\left\{ \begin{bmatrix}2 \\ 0 \\ 3 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix}... ...ix}1 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix} \right\} = \{\vec{u}_{1},\vec{u}_{2},\vec{u}_{3}\}$$

とし， $\mathbb{R}^{2}$ の基底を

$$\left\{ \begin{bmatrix}1 \\ 1 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix}2 \\ 3 \end{bmatrix} \right\} = \{\vec{v}_{1},\vec{v}_{2}\}$$

とする． $f$ の基底 $\{\vec{u}_{1},\vec{u}_{2},\vec{u}_{3}\}$ と 基底 $\{\vec{v}_{1},\vec{v}_{2}\}$ に関する 表現行列 $B$ を求める． なすわち，

$$\begin{bmatrix}f(\vec{u}_{1}) & f(\vec{u}_{2}) & f(\vec{u}_{3}) \end{bmatrix} = \begin{bmatrix}\vec{v}_{1} & \vec{v}_{2} \end{bmatrix}B$$

をみたす $B$ を求める． まず， $\mathbb{R}^{3}$ の 標準基底 $\{\vec{e}_{1},\vec{e}_{2},\vec{e}_{3}\}$ と $\mathbb{R}^{2}$ の 標準基底 $\{\vec{e}'_{1},\vec{e}'_{2}\}$ を考える． このとき，標準基底における $f$ の表現行列は $A$ であるから，

$$\begin{bmatrix}f(\vec{e}_{1}) & f(\vec{e}_{2}) & f(\vec{e}_{3}) \end{bmatrix} = \begin{bmatrix}\vec{e}'_{1} & \vec{e}'_{2} \end{bmatrix}A =A$$

が成り立つ． つぎに，基底の変換行列は

$$\begin{bmatrix}\vec{u}_{1} & \vec{u}_{2} & \vec{u}_{3} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix}\vec{e}_{1} & \vec{e}_{2} & \vec{e}_{3} \end{bmatrix}P=EP=P,$$

$$\begin{bmatrix}\vec{v}_{1} & \vec{v}_{2} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix}\vec{e}'_{1} & \vec{e}'_{2} \end{bmatrix}Q=EQ=Q$$

である． 以上より，

$$\begin{bmatrix}f(\vec{u}_{1}) & f(\vec{u}_{2}) & f(\vec{u}_{3}) \... ...end{bmatrix}P = \begin{bmatrix}\vec{e}'_{1} & \vec{e}'_{2} \end{bmatrix}AP =AP,$$

$$\begin{bmatrix}f(\vec{u}_{1}) & f(\vec{u}_{2}) & f(\vec{u}_{3}) \... ...\end{bmatrix}B = \begin{bmatrix}\vec{e}'_{1} & \vec{e}'_{2} \end{bmatrix}QB =QB$$

が成り立つ． よって，

$$B=Q^{-1}AP= \begin{bmatrix}1 & 2 \\ 1 & 3 \end{bmatrix}^{-1} \beg... ... 1 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix}17 & 17 & 7 \\ -5 & -6 & -2 \end{bmatrix}$$

を得る．

Kondo Koichi
Created at 2004/12/13