6 線形写像の行列表示

定理 2.27 (線形写像の行列表示)   任意の線形写像 $f:\mathbb{R}^{n}\to\mathbb{R}^{m}$ は

$$\vec{y}=f(\vec{x})= A\vec{x}, \quad A:m\times n$$

と行列表示が可能である． 行列 $A$ を $f$ の表現行列という．

例 2.28 (線形写像の行列表示の具体例)   線形写像 $f:\mathbb{R}^{2}\to\mathbb{R}^{2}$ は

$$f(\vec{e}_{1})= \begin{bmatrix}1 \\ 2 \end{bmatrix}, \quad f(\vec{e}_{2})= \begin{bmatrix}3 \\ -1 \end{bmatrix}$$

をみたすとする． このとき $f$ の行列表示 $\vec{y}=f(\vec{x})=A\vec{x}$ を求める．

$$f(\vec{e}_{1})=A\vec{e}_{1},\quad f(\vec{e}_{2})=A\vec{e}_{2}$$

であるから，

$$\begin{bmatrix}f(\vec{e}_{1}) & f(\vec{e}_{2}) \end{bmatrix} = A ... ...\vec{e}_{2} \end{bmatrix} = A \begin{bmatrix}1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} =AE=A$$

が成り立つ． よって，

$$A= \begin{bmatrix}f(\vec{e}_{1}) & f(\vec{e}_{2}) \end{bmatrix} = \begin{bmatrix}1 & 3 \\ 2 & -1 \end{bmatrix}$$

を得る．

例 2.29 (線形写像の行列表示)   写像 $f:\mathbb{R}^{3}\to\mathbb{R}^{3}; y=f(\vec{x})=\vec{x}-(\vec{x},\vec{e}_{3})\vec{e}_{3}$ を 行列表示する． まず，標準基底を $f$ で写すと

$$f(\vec{e}_{1})= \vec{e}_{1}-(\vec{e}_{1},\vec{e}_{3})\vec{e}_{3}=\vec{e}_{1},$$

$$f(\vec{e}_{2})= \vec{e}_{2}-(\vec{e}_{3},\vec{e}_{3})\vec{e}_{3}=\vec{e}_{3},$$

$$f(\vec{e}_{3})= \vec{e}_{3}-(\vec{e}_{3},\vec{e}_{3})\vec{e}_{3}=\vec{0}$$

となる． 任意のベクトル

$$\vec{x}=x_{1}\vec{e}_{1}+x_{2}\vec{e}_{2}+x_{3}\vec{e}_{3}$$

を $f$ で写すと，

$$\vec{y} = f(\vec{x})= f(x_{1}\vec{e}_{1}+x_{2}\vec{e}_{2}+x_{3}\vec{e}_{3})= x_{1}f(\vec{e}_{1})+x_{2}f(\vec{e}_{2})+x_{3}f(\vec{e}_{3})$$

$$= \begin{bmatrix}f(\vec{e}_{1}) & f(\vec{e}_{2}) & f(\vec{e}_{3})... ...{0}\end{bmatrix} \begin{bmatrix}x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \end{bmatrix} =A\vec{x}$$

と行列表示される． 表現行列は

$$A= \begin{bmatrix}f(\vec{e}_{1}) & f(\vec{e}_{2}) & f(\vec{e}_{3}... ...end{bmatrix} = \begin{bmatrix}1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}$$

である．

例 2.30 (行列表示の具体例)   線形写像 $f:\mathbb{R}^{2}\to\mathbb{R}^{2}$ を

$$f(\vec{u}_{1})= \begin{bmatrix}2 \\ 4 \end{bmatrix}, \quad f(\vec... ...x}1 \\ 1 \end{bmatrix}, \quad \vec{u}_{2}= \begin{bmatrix}1 \\ -1 \end{bmatrix}$$

をみたす写像とする． このとき $f$ の行列表示 $\vec{y}=f(\vec{x})=A\vec{x}$ を求める．

まず，基底変換 $\{\vec{e}_{1},\vec{e}_{2}\}\to\{\vec{u}_{1},\vec{u}_{2}\}$ を考える．このとき

$$\begin{bmatrix}\vec{u}_{1} & \vec{u}_{2} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix}\vec{e}_{1} & \vec{e}_{2} \end{bmatrix}P =EP=P$$

であり，

$$P= \begin{bmatrix}1 & 1 \\ 1 & -1 \end{bmatrix}, \quad P^{-1}= \begin{bmatrix}\frac{1}{2} & \frac{1}{2} \\ \frac{1}{2} & -\frac{1}{2} \end{bmatrix}$$

が成り立つ． これより，

$$\vec{e}_{1}= \begin{bmatrix}\vec{e}_{1} & \vec{e}_{2} \end{bmatri... ... \\ \frac{1}{2} \end{bmatrix} = \frac{1}{2}\vec{u}_{1}+ \frac{1}{2}\vec{u}_{2},$$

$$\vec{e}_{2}= \begin{bmatrix}\vec{e}_{1} & \vec{e}_{2} \end{bmatri... ...\\ -\frac{1}{2} \end{bmatrix} = \frac{1}{2}\vec{u}_{1} - \frac{1}{2}\vec{u}_{2}$$

であるので，

$$f(\vec{e}_{1})= f\left(\frac{1}{2}\vec{u}_{1}+ \frac{1}{2}\vec{u}_{2}\right)= \frac{1}{2}f(\vec{u}_{1})+\frac{1}{2}(\vec{u}_{2}),$$

$$f(\vec{e}_{2})= f\left(\frac{1}{2}\vec{u}_{1}-\frac{1}{2}\vec{u}_{2}\right)= \frac{1}{2}f(\vec{u}_{1})-\frac{1}{2}(\vec{u}_{2})$$

てあり，さらには

$$\begin{bmatrix}f(\vec{e}_{1}) & f(\vec{e}_{2}) \end{bmatrix} = \begin{bmatrix}\frac{1}{2}f(\vec{u}_{1})+\frac{1}{2}(\vec{u}_{2}) & \frac{1}{2}f(\vec{u}_{1})-\frac{1}{2}(\vec{u}_{2}) \end{bmatrix}$$

$$= \begin{bmatrix}f(\vec{u}_{1}) & f(\vec{u}_{2}) \end{bmatrix} \b... ...{bmatrix} = \begin{bmatrix}f(\vec{u}_{1}) & f(\vec{u}_{2}) \end{bmatrix} P^{-1}$$

が成り立つ． よって任意のベクトル $\vec{x}$ を $f$ で写すと

$$\vec{y} = f(\vec{x})= f(x_{1}\vec{e}_{1}+x_{2}\vec{e}_{2})= x_{1}f(\vec{e}_{1})+x_{2}f(\vec{e}_{2})$$

$$= \begin{bmatrix}f(\vec{u}_{1}) & f(\vec{u}_{2}) \end{bmatrix} \b... ...2}) \end{bmatrix} P^{-1} \begin{bmatrix}x_{1} \\ x_{2} \end{bmatrix} = A\vec{x}$$

と行列表示される． 表現行列は

$$A= \begin{bmatrix}f(\vec{u}_{1}) & f(\vec{u}_{2}) \end{bmatrix} P... ...{2} & -\frac{1}{2} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix}-1 & 3 \\ 3 & 1 \end{bmatrix}$$

である．

Kondo Koichi
Created at 2004/12/13