13 回転移動

例 2.61 ( $\mathbb{R}^2$ の回転)   直交変換

$$f:\mathbb{R}^{2}\to\mathbb{R}^2;$$

$$\vec{y}=f(\vec{x})= R_\theta\vec{x}= \begin{bmatrix}\cos\theta & ... ...in\theta & \cos\theta \end{bmatrix} \begin{bmatrix}x_{1} \\ x_{2} \end{bmatrix}$$

を考える． この直交変換 $f$ は $\mathbb{R}^{2}$ 内の 点を原点を中心に反時計回りに角 $\theta$ 回転移転を表す． 直交行列 $R_\theta$ は $\mathbb{R}^2$ の回転行列という．

標準基底 $\vec{e}_1$, $\vec{e}_2$ を $f$ で写したベクトルを

$$\vec{v}_{1}=f(\vec{e}_{1})= \begin{bmatrix}\cos\theta \\ \sin\the... ...c{v}_{2}=f(\vec{e}_{2})= \begin{bmatrix}-\sin\theta \\ \cos\theta \end{bmatrix}$$

とおく． $\vec{v}_1$, $\vec{v}_2$ はそれぞれ $\vec{e}_1$, $\vec{e}_2$ を原点を中心に $\theta$ 回転させた ベクトルである． 次に，任意のベクトル

$$\vec{x}= \begin{bmatrix}x_{1} \\ x_{2} \end{bmatrix} = x_1\vec{e}_1+ x_2\vec{e}_2$$

を $f$ で写すと

$$\vec{y}=f(\vec{x})= f(x_1\vec{e}_1+x_2\vec{e}_2)= x_1f(\vec{e}_1)+x_2f(\vec{e}_2)= x_1\vec{v}_1+x_2\vec{v}_2$$

と表される． $\vec{y}$ は基底 $\{\vec{v}_1,\vec{v}_2\}$ における 座標 $(x_1,x_2)$ の点である． 元の点 $\vec{x}$ は標準基底 $\{\vec{e}_1,\vec{e}_2\}$ における 座標 $(x_1,x_2)$ の点であるので， $\vec{y}$ は原点を中心に $\theta$ 回転した点となる．

問 2.62 (直交行列と回転行列)   $A{A}^{T}=E$ をみたす $2\times2$ 型の実行列は回転行列のみである． これを示せ．

例 2.63 ( $\mathbb{R}^3$ の回転)   直交変換

$$f:\mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^3;$$

$$\vec{y}= \begin{bmatrix}\cos\theta & -\sin\theta & 0 \\ \sin\theta & \cos\theta & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \vec{x}= R\vec{x}$$

を考える． この写像は $x_3$ 軸を中心に $\theta$ 回転を表す． $R{R}^{T}=E$ より $R$ は直交行列である．

例 2.64 ( $\mathbb{R}^3$ の回転)   $x_1$ 軸まわりの回転：

$$R_1= \begin{bmatrix}1 & 0 & 0 \\ 0 & \cos\theta_1 & -\sin\theta_1 \\ 0 & \sin\theta_1 & \cos\theta_1 \end{bmatrix}$$

$x_2$ 軸まわりの回転：

$$R_2= \begin{bmatrix}\sin\theta_2 & 0 & \cos\theta_2 \\ 0 & 1 & 0 \\ \cos\theta_2 & 0 & -\sin\theta_2 \end{bmatrix}$$

$x_3$ 軸まわりの回転：

$$R_3= \begin{bmatrix}\cos\theta_3 & -\sin\theta_3 & 0 \\ \sin\theta_3 & \cos\theta_3 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$$

$R_1$, $R_2$, $R_3$ は直交行列である．

$x_1$ 軸まわりに回転し，その後 $x_2$ 軸まわりに回転させるとき， 表現行列は $R_2R_1$ である．これもまた直交行列である． 同様に $R_1R_2$, $R_1R_3$, $\cdots$ もまた回転を表す． ただし， $R_iR_j\neq R_jR_i$ であることに注意すること． 回転する順番が違えば異なる回転を表すからである．

Kondo Koichi
Created at 2004/12/13