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12 直交変換
定義 2.55 (直交変換) 線形変換;
が
をみたすとき,を直交変換(orthogonal transformation)という.
注意 2.56 (直交変換のノルムの不変性) ベクトルの長さと直交変換で写されたベクトル
の 長さは等しい.
定義 2.57 (直交変換の内積の不変性) 線形変換が直交変換であるための必用十分条件は
である.
(証明)
定理 2.58 (直交変換の角の不変性) ベクトル,
を直交変換
に写したベクトルを
,
とする. このとき,
,
のなす角と
,
のなす角とは等しい.
注意 2.59 (合同変換) 直交変換は合同変換のひとつである. 合同変換(congruent transformation)とは, 長さと角を不変に保つ変換のことをいう. 合同変換で写される図形は,変換前の図形と後の図形とは合同となる. また,角を不変に保ち,長さはある定数倍になる変換のことを 相似変換(similarity transformation)という. 角を不変に保つ変換を等角変換という.
定理 2.60 (直交変換と直交行列) 直交変換の表現行列は直交行列である.
(証明) (十分)
を直交行列とする.
とおく.このとき
をみたす.
Kondo Koichi
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Created at 2004/12/13