4 体

ある集合の元に対して四則演算が定義され， その集合内で閉じているとき， その集合を体と呼ぶ． 正確には次のように定義される．

定義 1.15 (体)   集合 $K$ の任意の 2 つの元 $a$, $b$ に対して， 加法 $a+b$ と乗法 $ab$ が定義されているとする．

(1)	$(a+b)+c=a+(b+c)$.	（和の結合則）
(2)	$\forall a+\exists 0=a=0+a$.	（零元 0 の存在）
(3)	$\forall a+\exists(-a)=0=(-a)+a$.	（和の逆元 $-a$ の存在）
(4)	$a+b=b+a$.	（和の交換則）
(5)	$(ab)c=a(bc)$.	（積の結合則）
(6)	$a(b+c)=ab+ac$, $(a+b)c=ac+bc$.	（分配則）
(7)	$ab=ba$.	（積の交換則）
(8)	$\forall a\exists1=a=1a$.	（単位元 $1$ の存在）
(9)	$\forall a\exists(a^{-1})=1=(a^{-1})a$．ただし，$a\neq0$ とする．	（積の逆元 $a^{-1}$ の存在）

• 条件(1)-(3) を満たすとき， 集合 $K$ を群（group）と呼ぶ．
• 条件(1)-(4) を満たすとき， 集合 $K$ を可換群（commutative group） またはアーベル群（Abel group）と呼ぶ．
• 条件(1)-(6) を満たすとき， 集合 $K$ を環（ring）と呼ぶ．
• 条件(1)-(7) を満たすとき， 集合 $K$ を可換環（commutative ring）と呼ぶ．
• 条件(1)-(9) を満たすとき， 集合 $K$ を体（field）と呼ぶ． ただし， 条件(7)を満たさない体を 非可換体（noncommutative field）と呼ぶ．

定理 1.16 (零元，単位元，逆元の一意性)    

(1)

零元 0，単位元 $1$ は唯一つに定まる．

(2)

和の逆元 $-a$ は各 $a$ に対して唯一つに定まる．

(3)

積の逆元 $a^{-1}$ は各 $a$ に対して唯一つに定まる．

問 1.17 (零元，単位元，逆元の一意性)   これを示せ．

（証明）     (1) 零元が 0, $0'$ と二つ存在するとする． すなわち

$$0+a=a=0+a\,,\quad 0'+a=a=0'+a$$ (1)

とする． この式は全ての元 $a$ で成立するので， 第一式の $a$ を $0'$ とし， 第二式の $a$ を 0 とすると

$$0+0'=0'+0=0'\,,\quad 0'+0=0+0'=0$$ (2)

となる． $0+0'=0'$, $0+0'=0$ より， $0=0'$ を得る． 零元は唯一つに定まる．

(2) $a$ の和の逆元が $b$, $b'$ と二つ存在するとする． すなわち

$$a+b=b+a=0\,,\quad a+b'=b'+a=0$$ (3)

とする． $a+b=0$ に左から $b'$ を加えると

$$b'+(a+b)=b'+0$$ (4)

となる． 和の結合則より左辺の和の順を変える． 右辺は零元を加えているので

$$(b'+a)+b=b'$$ (5)

が成り立つ． $b'+a=0$ を用いると

$$0+b=b'$$ (6)

である．よって

$$b=b'$$ (7)

を得る． $a$ に対する和の逆元は唯一つに定まる．

(3)    (2)と同様に示される．

例 1.18 (体の具体例)   数の集合

$$\mathbb{N}\subset \mathbb{Z}\subset \mathbb{Q}\subset \mathbb{R}\subset \mathbb{C}\,.$$ (8)

を考える．

• 自然数全体の集合 $\mathbb{N}$ を考える． $\mathbb{N}$ は加法，乗法ともに群をなさない． なぜなら，和の逆元 $-a$，積の逆元 $a^{-1}$ は自然数の 範囲内で存在しないからである．
• 整数全体の集合 $\mathbb{Z}$ を考える． $\mathbb{Z}$ は可換環である． 積の逆元が存在しないので体とはならないことに注意する．
• 有理数全体の集合 $\mathbb{Q}$ を考える． $\mathbb{Q}$ は体である．
• 実数全体の集合 $\mathbb{R}$ を考える． $\mathbb{R}$ は体である． $\mathbb{R}$ を実数体と呼ぶ．
• 複素数全体の集合 $\mathbb{C}$ を考える． $\mathbb{C}$ は体である． $\mathbb{C}$ を複素数体と呼ぶ．

例 1.19 (体の具体例)    

• 0 でない実数全体の集合 $\mathbb{R}^*$ は 乗法に関して可換群となる． （積 $\times$ を和 $+$ に置き換えて考える． 条件(5),(8),(9),(7)は条件(1),(2),(3),(4)とみなせる．）
• 行列の集合 $\mathbb{R}^{m\times n}$ は 加法に関して可換群となる． （ (1) $(A+B)+C=A+(B+C)$. (2) $A+O=A$. (3) $A+(-A)=O$. (4) $A+B=B+A$.）
• 正方行列の集合 $\mathbb{R}^{n\times n}$ は 加法と乗法に関して環となる． （ 条件(1)-(4)と (5) $(AB)C=A(BC)$. (6) $A(B+C)=AB+AC$. (注意) 単位元は単位行列 $E$ である． $AB\neq BA$ であるから可換環ではない．）
• 正則な $n\times n$ 型行列の集合 $GL(n)$ は非可換体となる． （ (8) $AE=A$. (9) $AA^{-1}=E$. (7) $AB\neq BA$.）

Kondo Koichi
Created at 2004/12/13