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5 数ベクトル空間
定義 1.20 (次元実ベクトル空間) 要素が実数の列ベクトル全体の集合
に次の演算が定義されているとき,を
次元実ベクトル空間 (
-dimensional real vector space)という.
(i) ベクトル
とスカラー
に対して スカラー倍を次のように定義する:
(ii) ベクトル
に対してベクトルの和を 次のように定義する:
定義 1.21 (次元複素ベクトル空間) 要素が複素数の列ベクトル全体の集合
に次の演算が定義されているとき,を
次元複素ベクトル空間 (
-dimensional complex vector space)という.
(i) ベクトル
とスカラー
に対して スカラー倍を次のように定義する:
(ii) ベクトル
に対してベクトルの和を 次のように定義する:
定義 1.22 (数ベクトル空間),
を 数ベクトル空間という.
注意 1.23 (零ベクトル)または
の 零ベクトル(zero vector)を
と定義する. 零ベクトルは
をみたす.
注意 1.24 (逆ベクトルと差)の逆ベクトルを
と定義する. また,と
との差を
と定義する.
定理 1.25 (ベクトルの演算の性質) ベクトル(または
) とスカラー
(または
)に対して 次の性質が成立する:
- (i)
- (交換則)
.
- (ii)
- (結合則)
.
- (iii)
- (スカラー倍に関する結合則)
.
- (iv)
- (スカラー倍に関する分配即)
.
- (v)
- (スカラー倍に関する分配即)
.
問 1.26 (ベクトルの演算の性質) この定理をスカラー倍とベクトルの和の定義を用いて証明せよ.
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Created at 2004/12/13