定理 6.6 (置換積分法)
積分変数を
![$ x=\phi(t)$](img1747.png)
と変換すると
|
![$\displaystyle \int f(x)\,dx= \int f(\phi(t))\phi'(t)\,dt= \int f(\phi(t))\frac{dx}{dt}\,dt$](img1748.png) |
(853) |
となる.
また逆に
|
![$\displaystyle \int f(\psi(x))\psi'(x)\,dx= \int f(t)\,dt= F(t)+C= F(\psi(x))+C$](img1749.png) |
(854) |
と積分変数を
![$ t=\psi(x)$](img1750.png)
と置き換えて積分する.
この積分の方法を
置換積分法(integration by substitution)という.
(証明)関数
を
の原始関数とする.
変数
を
と変数変換する.
このとき
は
合成関数の微分則より
![$\displaystyle \frac{dF(\phi(t))}{dt}$](img1752.png) |
![$\displaystyle = \frac{d}{dt}F(\phi(t))= F'(\phi(t))\phi'(t)= f(\phi(t))\phi'(t)$](img1753.png) |
(855) |
となる.両辺を
![$ t$](img1754.png)
で積分すると
|
![$\displaystyle \int\frac{dF}{dt}\,dt= \int f(\phi(t))\phi'(t)\,dt$](img1755.png) |
(856) |
を得る.左辺は
![$\displaystyle \int\frac{dF(\phi(t))}{dt}\,dt= F(\phi(t))+C=F(x)+C= \int f(x)\,dx$](img1756.png) |
(857) |
であるから証明終了.
例 6.7 (置換積分の使用例)
不定積分
![$\displaystyle I$](img1740.png) |
![$\displaystyle =\int(ax+b)^{m}\,dx$](img1757.png) |
(858) |
を計算する.まず
![$\displaystyle t$](img1758.png) |
![$\displaystyle =ax+b$](img1759.png) |
(859) |
と変数変換する.このとき両辺を
![$ x$](img1.png)
で微分すると
![$\displaystyle \frac{dt}{dx}$](img1760.png) |
![$\displaystyle =a$](img1761.png) |
(860) |
であるので
![$\displaystyle \frac{dx}{dt}$](img1762.png) |
![$\displaystyle =\frac{1}{\frac{dt}{dx}}=\frac{1}{a}$](img1763.png) |
(861) |
を得る.これより置換積分法を用いると不定積分は
![$\displaystyle I$](img1740.png) |
![$\displaystyle = \int t^{m}\frac{dx}{dt}\,dt= \int t^{m}\frac{1}{a}\,dt= \frac{1...
...[3ex] \displaystyle{\frac{1}{a}\log\vert t\vert+C} & (m=-1) \end{array} \right.$](img1764.png) |
(862) |
となる.変数
![$ t$](img1754.png)
を
![$ x$](img1.png)
に戻すと
![$\displaystyle I$](img1740.png) |
![$\displaystyle = \left\{ \begin{array}{ll} \displaystyle{\frac{(ax+b)^{m+1}}{a(m...
...x] \displaystyle{\frac{1}{a}\log\vert ax+b\vert+C} & (m=-1) \end{array} \right.$](img1765.png) |
(863) |
を得る.
置換積分は慣れてくれば変数変換を省略して計算をする.
次のように式変形を行なう:
例 6.8 (置換積分の使用例)
![$\displaystyle I$](img1740.png) |
![$\displaystyle = \int\cos(ax+b)\,dx= \frac{1}{a} \int\cos(ax+b)(ax+b)'\,dx\,,$](img1768.png) |
(867) |
![$ t=ax+b$](img1769.png)
とおくと
![$ \displaystyle{(ax+b)'=\frac{dt}{dx}}$](img1770.png)
,
![$ \displaystyle{\frac{dx}{dt}=1\Big/\frac{dt}{dx}}$](img1771.png)
より
![$\displaystyle I$](img1740.png) |
![$\displaystyle = \frac{1}{a}\int\cos t\frac{dt}{dx}\,dt= \frac{1}{a}\int\cos t\,dt= \frac{1}{a}\sin t+C= \frac{1}{a}\sin(ax+b)+C\,.$](img1772.png) |
(868) |
例 6.9 (置換積分の使用例)
![$\displaystyle I$](img1740.png) |
![$\displaystyle =\int\tan x\,dx= \int\frac{\sin x}{\cos x}\,dx= \int\frac{-(\cos x)'}{\cos x}\,dx\,,$](img1773.png) |
(869) |
![$ t=\cos x$](img1774.png)
とおくと
![$ \displaystyle{(\cos x)'=\frac{dt}{dx}}$](img1775.png)
,
![$ \displaystyle{\frac{dx}{dt}=1\Big/\frac{dt}{dx}}$](img1771.png)
より
![$\displaystyle I$](img1740.png) |
![$\displaystyle = \int\frac{-\frac{dt}{dx}}{t}\frac{dx}{dt}\,dt= -\int\frac{dt}{t}= -\log\vert t\vert+C= -\log\vert\cos x\vert+C\,.$](img1776.png) |
(870) |
例 6.10 (置換積分の使用例)
![$\displaystyle I$](img1740.png) |
![$\displaystyle = \int\frac{dx}{\sqrt{a^2-x^2}}= \int\frac{a\left(\frac{x}{a}\rig...
...nt\frac{\left(\frac{x}{a}\right)'} {\sqrt{1-\left(\frac{x}{a}\right)^2}}\,dx\,,$](img1777.png) |
(871) |
![$ t=\displaystyle{\frac{x}{a}}$](img1778.png)
とおくと
![$ \displaystyle{\left(\frac{x}{a}\right)'=\frac{dt}{dx}}$](img1779.png)
,
![$ \displaystyle{\frac{dx}{dt}=1\Big/\frac{dt}{dx}}$](img1771.png)
より
![$\displaystyle I$](img1740.png) |
![$\displaystyle = \int\frac{\frac{dt}{dx}}{\sqrt{1-t^2}}\frac{dx}{dt}\,dt= \int\f...
...t{1-t^2}}= \mathrm{Sin}^{-1}t+C= \mathrm{Sin}^{-1}\left(\frac{x}{a}\right)+C\,.$](img1780.png) |
(872) |
例 6.12 (置換積分の使用例)
![$\displaystyle I$](img1740.png) |
![$\displaystyle = \int\frac{dx}{\sqrt{x^2+a^2}}= \frac{1}{a} \int\frac{1}{\sqrt{1...
...qrt{1+\left(\frac{x}{a}\right)^2}}\,dx= \sinh^{-1}\left(\frac{x}{a}\right)+C\,.$](img1784.png) |
(876) |
これで不定積分は得られたが他の表現も考える.
逆双曲線関数は
![$\displaystyle \sinh^{-1}x$](img1785.png) |
![$\displaystyle = \log(x+\sqrt{x^2+1})$](img1786.png) |
(877) |
とも表される.これを用いると不定積分は
![$\displaystyle I$](img1740.png) |
![$\displaystyle =\log\left( \frac{x}{a}+ \sqrt{\left(\frac{x}{a}\right)^2+1} \right)+C$](img1787.png) |
(878) |
となる.またこれを変形すると
![$\displaystyle I$](img1740.png) |
![$\displaystyle =\log \frac{1}{a} \left(x+\sqrt{x^2+a^2}\right)+C= \log\left(x+\sqrt{x^2+a^2}\right)+C-\log a$](img1788.png) |
(879) |
となる.
![$ C$](img234.png)
は任意の定数なので
![$ C-\log a$](img1789.png)
をあらためて
![$ C$](img234.png)
と
おき直すと
![$\displaystyle I$](img1740.png) |
![$\displaystyle = \log\left(x+\sqrt{x^2+a^2}\right)+C$](img1790.png) |
(880) |
を得る.
以上得られた結果は
任意定数分の不定性を除けば全て同じ不定積分である.
注意 6.13 (不定積分の関数の表現)
不定積分は計算の方法により得られる結果が一見すると
違うときがある.
これは不定積分が任意定数の不定性をもつためである.
注意が必用である.
Kondo Koichi
平成17年8月31日