6.5 部分積分法

定理 6.14 (部分積分法)  

$$\int f(x)g'(x)\,dx=f(x)g(x)-\int f'(x)g(x)\,dx$$ (881)

これを部分積分法（integration by parts）という．

（証明） 関数 $f(x)g(x)$ を微分すると積の微分公式より

$$(f(x)g(x))' =f'(x)g(x)+f(x)g'(x)$$ (882)

を得る．これを両辺を $x$ で積分すると

$$f(x)g(x)= \int(f(x)g(x))'\,dx = \int f'(x)g(x)\,dx+ \int f(x)g'(x)\,dx$$ (883)

となる．移項すると証明終了．

例 6.15 (部分積分法の使用例)  

$$I = \int\log x\,dx= \int\log x(x)'\,dx= x\log x-\int(\log x)'x\,dx$$ (884)

$$= x\log x-\int\frac{1}{x}x\,dx= x\log x-\int dx= x\log x-x+C\,.$$ (885)

例 6.16 (部分積分法の使用例)  

$$I = \int x\sin x\,dx= \int x(-\cos x)'\,dx= -x\cos x+\int (x)'\cos x\,dx$$ (886)

$$= -x\cos x+\int\cos x\,dx= -x\cos x+\sin x+C\,.$$ (887)

例 6.17 (部分積分法の使用例)  

$$I = \int x^2\sin x\,dx= \int x^2(-\cos x)'\,dx= -x^2\cos x+\int (x^2)'\cos x\,dx$$ (888)

$$= -x^2\cos x+\int 2x\,\cos x\,dx= -x^2\cos x+2\int x(\sin x)'\,dx$$ (889)

$$= -x^2\cos x+2x\sin x-2\int\sin x\,dx= -x^2\cos x+2x\sin x+2\cos+C$$ (890)

$$= 2x\sin x+(2-x^2)\cos+C\,.$$ (891)

Kondo Koichi
平成17年8月31日