有理関数
![$\displaystyle f(x)$](img537.png) |
![$\displaystyle = \frac{a_{0}\,x^{N}+a_1\,x^{N-1}+\cdots+a_{N}} {b_{0}\,x^{M}+b_{1}\,x^{M-1}+\cdots+b_{M}}\, \qquad (N,M\in\mathbb{N})$](img1804.png) |
(892) |
の不定積分
![$\displaystyle I$](img1740.png) |
![$\displaystyle =\int f(x)\,dx$](img1805.png) |
(893) |
を考える.
任意の有理関数は積分可能である.
Step 1 (分子を分母で割る)
分子の次数
が分母の次数
以上のときは
まず割り算を行い,
とする.
このとき多項式の部分は必ず積分が可能である.
よって以後では分子の次数
は分母の次数
より小さい(
)とする.
Step 2 (分母を因数分解する)
有理式を
とする.
分母の多項式
を実数の範囲で因数分解する.
このとき
![$\displaystyle q(x)$](img1812.png) |
![$\displaystyle = (x+b_{1})^{m_1}(x+b_{2})^{m_2}\cdots (x^2+c_{i}\,x+d_{i})^{m_{i}} (x^2+c_{i+1}\,x+d_{i+1})^{m_{i+1}}\cdots$](img1813.png) |
(895) |
と表される.
は重複度である.
2次式の判別式は負である.
Step 3 (部分分数分解する)
有理式
を
部分分数分解する.
すなわち
と変形する.
問 6.18 (部分分数分解)
任意の有理式
![$ (N\leq M)$](img1820.png)
は
上式のように部分分数分解される.これを示せ.
Step 4 (部分分数ごとに積分する)
部分分数ごとに積分を行う.
すなわち
を計算する.
それぞれの場合ごとに積分を考える.
まず,
分母の因子が
次式の場合の積分を行なう.
すると
![$\displaystyle \int\frac{dx}{(x+b)^{m}}$](img1824.png) |
![$\displaystyle = \left\{ \begin{array}{ll} \log\vert x+b\vert+C & (m=1)\\ [2ex] \displaystyle{\frac{-1}{m-1}\frac{1}{(x+b)^{m-1}}+C} & (m\ge2) \end{array}\right.$](img1825.png) |
(904) |
を得る.
次に,
分母の因子が
次式の場合の積分を行なう.
次式の判別式が負であることに注意すると
![$\displaystyle \int\frac{A\,x+B}{(x^2+c\,x+d)^{m}}\,dx = \int\frac{A\,x+B}{\left( \left(x+\frac{c}{2}\right)^2+ \left(d-\frac{c^2}{4}\right)\right)^m}\,dx$](img1826.png) |
(905) |
と表される.
ここで
,
,
とおく.
すると
![$\displaystyle \int\frac{A\,x+B}{(x^2+c\,x+d)^{m}}\,dx= \int\frac{A\,x+B} {\left((x-a)^2+b^2\right)^m}\,dx$](img1830.png) |
(906) |
と表される.この形から積分を進める.
さらに式変形すると
となる.
ここで
![$\displaystyle I_{m}$](img1834.png) |
![$\displaystyle = \int \frac{2(x-a)} {\left((x-a)^2+b^2\right)^m}\,dx\,, \qquad J_{m}= \int \frac{dx} {\left((x-a)^2+b^2\right)^m}$](img1835.png) |
(910) |
とおく.
第一項目の積分
は
![$\displaystyle I_{m}$](img1834.png) |
![$\displaystyle = \int \frac{((x-a)^2+b^2)'} {\left((x-a)^2+b^2\right)^m}\,dx= \l...
...-1}{m-1} \frac{1}{\left((x-a)^2+b^2\right)^{m-1}}+C} & (m>1) \end{array}\right.$](img1837.png) |
(911) |
と求まる.
第二項目の積分
を計算する.
のとき
となる.
のときは漸化式
![$\displaystyle J_{m}$](img1844.png) |
![$\displaystyle = \left(\frac{2m-3}{2m-2}\right) \frac{J_{m-1}}{b^2}+ \frac{1}{2(m-1)b^2} \frac{x-a}{\left((x-a)^2+b^2\right)^{m-1}}$](img1845.png) |
(914) |
より
が定まる.
これを示す.
置換積分を用いると
![$\displaystyle J_{m}$](img1844.png) |
![$\displaystyle = \int\frac{dx}{\left((x-a)^2+b^2\right)^{m}}= \frac{1}{b^{2m-1}}...
...rac{x-a}{b}\right)^2\right)^m}\,dx= \frac{1}{b^{2m-1}} \int\frac{dt}{(1+t^2)^m}$](img1846.png) |
(915) |
となる.ここで
とおいた.
式変形すると
![$\displaystyle J_{m}$](img1844.png) |
![$\displaystyle = \frac{1}{b^{2m-1}} \int\frac{(1+t^2)-t^2}{(1+t^2)^m}\,dt$](img1848.png) |
(916) |
|
![$\displaystyle = \frac{1}{b^{2m-1}} \int\frac{dt}{(1+t^2)^{m-1}}- \frac{1}{b^{2m-1}} \int\frac{t^2}{(1+t^2)^m}\,dt$](img1849.png) |
(917) |
|
![$\displaystyle = \frac{J_{m-1}}{b^2}- \frac{1}{b^{2m-1}} \int t\times\frac{t}{(1+t^2)^{m}}\,dt$](img1850.png) |
(918) |
|
![$\displaystyle = \frac{J_{m-1}}{b^2}- \frac{1}{b^{2m-1}} \int t\left(\frac{-1}{2(m-1)}\frac{1}{(1+t^2)^{m-1}}\right)'\,dt$](img1851.png) |
(919) |
|
![$\displaystyle = \frac{J_{m-1}}{b^2}+ \frac{1}{2(m-1)b^{2m-1}} \int t\left(\frac{1}{(1+t^2)^{m-1}}\right)'\,dt$](img1852.png) |
(920) |
|
![$\displaystyle = \frac{J_{m-1}}{b^2}+ \frac{1}{2(m-1)b^{2m-1}} \left\{ \frac{t}{(1+t^2)^{m-1}}- \int\frac{1}{(1+t^2)^{m-1}}\,dt\right\}$](img1853.png) |
(921) |
|
![$\displaystyle = \frac{J_{m-1}}{b^2}+ \frac{1}{2(m-1)b^{2m-1}}\frac{t}{(1+t^2)^{m-1}}- \frac{J_{m-1}}{2(m-1)b^{2}}$](img1854.png) |
(922) |
|
![$\displaystyle = \left(\frac{2m-3}{2m-2}\right)\frac{J_{m-1}}{b^2}+ \frac{1}{2(m-1)b^{2m-1}}\frac{t}{(1+t^2)^{m-1}}$](img1855.png) |
(923) |
|
![$\displaystyle = \left(\frac{2m-3}{2m-2}\right)\frac{J_{m-1}}{b^2}+ \frac{1}{2(m-1)b^{2}}\frac{x-a}{\left((x-a)^2+b^2\right)^{m-1}}$](img1856.png) |
(924) |
となり漸化式を得る.
問 6.21 (部分分数展開の計算例)
部分分数分解として
![$\displaystyle \frac{1}{x^4-x^3+x+1}$](img1867.png) |
![$\displaystyle = \frac{1}{(x-1)^2(x^2+x+1)}= \frac{A}{x-1}+\frac{B}{(x-1)^2}+ \frac{Cx+D}{x^2+x+1}$](img1868.png) |
(932) |
とする.
係数
![$ A$](img1869.png)
,
![$ B$](img1870.png)
,
![$ C$](img234.png)
,
![$ D$](img1871.png)
を定めよ.
問 6.22 (部分分数展開の計算例)
部分分数分解として
![$\displaystyle \frac{1}{x^3(x+1)(x^2+1)^2}= \frac{A}{x}+\frac{B}{x^2}+\frac{C}{x^3}+ \frac{D}{x+1}+ \frac{Ex+F}{x^2+1}+ \frac{Gx+H}{(x^2+1)^2}$](img1872.png) |
(933) |
とする.
係数
![$ A$](img1869.png)
,
![$ B$](img1870.png)
,
![$ C$](img234.png)
,
![$ D$](img1871.png)
,
![$ E$](img1873.png)
,
![$ F$](img1874.png)
,
![$ G$](img1875.png)
,
![$ H$](img1876.png)
を定めよ.
例 6.23 (有理式関数の不定積分の具体例)
不定積分
![$\displaystyle I=\int\frac{x^3+4x^2+2x+1}{x^2+3}\,dx$](img1877.png) |
(934) |
を計算する.
分子の次数が分母の次数以上であるから,
分子を分母で割り
のように変形する.
多項式部分は積分される.
残るは有理式の積分である.
これを計算すると
となる.
よって
![$\displaystyle I$](img1740.png) |
![$\displaystyle =\frac{x^2}{2}+4x -\frac{1}{2} \log\left\vert x^2+3\right\vert -\frac{11}{\sqrt{3}} \mathrm{Tan}^{-1}\left(\frac{x}{\sqrt{3}}\right)+C$](img1884.png) |
(940) |
を得る.
例 6.24 (有理式関数の不定積分の具体例)
不定積分
![$\displaystyle I=\int\frac{dx}{x^3+1}$](img1885.png) |
(941) |
を計算する.まず,
部分分数分解として
![$\displaystyle \frac{1}{x^3+1}$](img1886.png) |
![$\displaystyle = \frac{1}{(x+1)(x^2-x+1)}= \frac{A}{x+1}+ \frac{B\,x+C}{x^2-x+1}$](img1887.png) |
(942) |
とする.
通分して同じ次数でまとめると
![$\displaystyle \frac{1}{x^3+1}$](img1886.png) |
![$\displaystyle = \frac{(A+B)x^2+(B+C-A)x+C}{x^3+1}$](img1888.png) |
(943) |
となる.よって係数は
![$\displaystyle \begin{bmatrix}1 & 1 & 0 \\ -1 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}...
...gin{bmatrix}A \\ B \\ C \end{bmatrix}= \begin{bmatrix}0 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix}$](img1889.png) |
(944) |
を満足しなければならない.
これを解くと
![$\displaystyle A$](img1890.png) |
![$\displaystyle =\frac{1}{2}\,,\qquad B=-\frac{1}{2}\,,\qquad C=1$](img1891.png) |
(945) |
となる.
よって部分分数分解は
![$\displaystyle \frac{1}{x^3+1}$](img1886.png) |
![$\displaystyle = \frac{1}{(x+1)(x^2-x+1)}= \frac{1}{2(x+1)}- \frac{x-2}{2(x^2-x+1)}$](img1892.png) |
(946) |
と表される.
よって,
![$\displaystyle \int\frac{dx}{x^3+1}$](img1893.png) |
![$\displaystyle = \int\left( \frac{1}{2(x+1)}-\frac{x-2}{2(x^2-x+1)} \right)\,dx$](img1894.png) |
(947) |
|
![$\displaystyle = \frac{1}{2} \int\frac{dx}{x+1}- \frac{1}{2} \int\frac{x-2}{x^2-x+1}dx$](img1895.png) |
(948) |
|
![$\displaystyle = \frac{1}{2}\log\vert x+1\vert- \frac{1}{2} \int\frac{\left(x-\frac{1}{2}\right)-\frac{3}{2}} {\left(x-\frac{1}{2}\right)^2+\frac{3}{4}}\,dx$](img1896.png) |
(949) |
|
![$\displaystyle = \frac{1}{2}\log\vert x+1\vert- \frac{1}{2} \int\frac{\left(x-\f...
...}{4}}\,dx+ \frac{3}{4} \int\frac{dx} {\left(x-\frac{1}{2}\right)^2+\frac{3}{4}}$](img1897.png) |
(950) |
|
![$\displaystyle = \frac{1}{2}\log\vert x+1\vert- \frac{1}{4} \int\frac{\left(\lef...
...eft(\frac{2x-1}{\sqrt{3}}\right)'} {1+\left(\frac{2x-1}{\sqrt{3}}\right)^2}\,dx$](img1898.png) |
(951) |
|
![$\displaystyle = \frac{1}{2}\log\vert x+1\vert- \frac{1}{4}\log\left\vert \left(...
...\vert+ \frac{\sqrt{3}}{2} \mathrm{Tan}^{-1}\left(\frac{2x-1}{\sqrt{3}}\right)+C$](img1899.png) |
(952) |
|
![$\displaystyle = \frac{1}{4}\log\left\vert \frac{(x+1)^2}{x^2-x+1}\right\vert+ \frac{\sqrt{3}}{2} \mathrm{Tan}^{-1}\left(\frac{2x-1}{\sqrt{3}}\right)+C$](img1900.png) |
(953) |
を得る.
例 6.25 (有理式関数の不定積分の具体例)
不定積分
![$\displaystyle \int\frac{x+1}{x^3+x^2-2x}\,dx$](img1901.png) |
(954) |
を計算する.
まず,部分分数分解する.
とおくと,
![$\displaystyle \begin{bmatrix}1 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & -1 \\ -2 & 0 & 0 \end{bmatrix...
...gin{bmatrix}A \\ B \\ C \end{bmatrix}= \begin{bmatrix}0 \\ 1 \\ 1 \end{bmatrix}$](img1905.png) |
(957) |
であり,これを解くと
![$\displaystyle A$](img1890.png) |
![$\displaystyle =-\frac{1}{2}\,,\quad B=\frac{2}{3}\,,\quad C=-\frac{1}{6}$](img1906.png) |
(958) |
となる.よって
![$\displaystyle \frac{x+1}{x^3+x^2-2x}$](img1902.png) |
![$\displaystyle = -\frac{1}{2x}+ \frac{2}{3(x-1)}- \frac{1}{6(x+2)}$](img1907.png) |
(959) |
を得る.
これを積分して
を得る.
例 6.26 (有理式関数の不定積分の具体例)
不定積分
![$\displaystyle \int\frac{x-11}{x^3+1}\,dx$](img1913.png) |
(964) |
を計算する.
まず
![$\displaystyle \frac{x-11}{x^3+1}= \frac{A}{x+1}+ \frac{B\,x+C}{x^2-x+1}$](img1914.png) |
![$\displaystyle = \frac{(A+B)x^2+(-A+B+C)\,x+(A+C)} {(x+1)(x^2-x+1)}$](img1915.png) |
(965) |
とおくと
![$\displaystyle \begin{bmatrix}1 & 1 & 0 \\ -1 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \end{bmatrix}...
...n{bmatrix}A \\ B \\ C \end{bmatrix}= \begin{bmatrix}0 \\ 1 \\ -11 \end{bmatrix}$](img1916.png) |
(966) |
より
![$\displaystyle A$](img1890.png) |
![$\displaystyle =-4\,,\qquad B=4\,,\qquad C=7$](img1917.png) |
(967) |
が定まる.よって
![$\displaystyle \frac{x-11}{x^3+1}$](img1918.png) |
![$\displaystyle = \frac{-4}{x+1}+ \frac{4x+7}{x^2-x+1}$](img1919.png) |
(968) |
となる.これより
![$\displaystyle \int\frac{x-11}{x^3+1}\,dx$](img1913.png) |
![$\displaystyle = -4\int\frac{dx}{x+1}+ \int\frac{4x+7}{x^2-x+1}\,dx$](img1920.png) |
(969) |
|
![$\displaystyle = -4\log\vert x+1\vert+ \int\frac{4\left(x-\frac{1}{2}\right)+9} {\left(x-\frac{1}{2}\right)^2+\frac{3}{4}}\,dx$](img1921.png) |
(970) |
|
![$\displaystyle = -4\log\vert x+1\vert+ 4\int\frac{\left(x-\frac{1}{2}\right)} {\...
...2+\frac{3}{4}}\,dx+ 9\int\frac{1}{\left(x-\frac{1}{2}\right)^2+\frac{3}{4}}\,dx$](img1922.png) |
(971) |
|
![$\displaystyle = -4\log\vert x+1\vert+ 2\int\frac{\left(\left(x-\frac{1}{2}\righ...
...eft(\frac{2x-1}{\sqrt{3}}\right)'} {1+\left(\frac{2x-1}{\sqrt{3}}\right)^2}\,dx$](img1923.png) |
(972) |
|
![$\displaystyle = -4\log\vert x+1\vert+ 2\log\left\vert\left(x-\frac{1}{2}\right)...
...}{4}\right\vert+ 6\sqrt{3}\mathrm{Tan}^{-1}\left(\frac{2x-1}{\sqrt{3}}\right)+C$](img1924.png) |
(973) |
|
![$\displaystyle = 2\log\left\vert\frac{x^2-x+1}{(x+1)^2}\right\vert+ 6\sqrt{3}\mathrm{Tan}^{-1}\left(\frac{2x-1}{\sqrt{3}}\right)+C$](img1925.png) |
(974) |
を得る.
Kondo Koichi
平成17年8月31日