6.6 有理関数の積分

有理関数

$$f(x) = \frac{a_{0}\,x^{N}+a_1\,x^{N-1}+\cdots+a_{N}} {b_{0}\,x^{M}+b_{1}\,x^{M-1}+\cdots+b_{M}}\, \qquad (N,M\in\mathbb{N})$$ (892)

の不定積分

$$I =\int f(x)\,dx$$ (893)

を考える． 任意の有理関数は積分可能である．

Step 1 （分子を分母で割る）     分子の次数 $N$ が分母の次数 $M$ 以上のときは まず割り算を行い，

$$f(x) = N-M + \frac{\text{$M-1$\ 次以下の多項式}}{\text{$M$\ 次の多項式}}$$ (894)

とする． このとき多項式の部分は必ず積分が可能である． よって以後では分子の次数 $N$ は分母の次数 $M$ より小さい($N<M$)とする．

Step 2 （分母を因数分解する）     有理式を $${f(x)=\frac{p(x)}{q(x)}}$$ とする． 分母の多項式 $q(x)$ を実数の範囲で因数分解する． このとき

$$q(x) = (x+b_{1})^{m_1}(x+b_{2})^{m_2}\cdots (x^2+c_{i}\,x+d_{i})^{m_{i}} (x^2+c_{i+1}\,x+d_{i+1})^{m_{i+1}}\cdots$$ (895)

と表される． $m_{j}$ は重複度である． 2次式の判別式は負である．

Step 3 （部分分数分解する）     有理式 $${f(x)=\frac{p(x)}{q(x)}}$$ を 部分分数分解する． すなわち

$$f(x) =\frac{p(x)}{q(x)}= \frac{p(x)} {(x+b_{1})^{m_1}(x+b_{2})^{m_2}\cdots (x^2+c_{i}\,x+d_{i})^{m_{i}} (x^2+c_{i+1}\,x+d_{i+1})^{m_{i+1}}\cdots}$$ (896)

$$= \frac{A_{1,1}}{x+b_{1}}+ \frac{A_{1,2}}{(x+b_{1})^2}+\cdots+ \frac{A_{1,m_1}}{(x+b_{1})^{m_1}}$$ (897)

$$\qquad+ \frac{A_{2,1}}{x+b_{2}}+ \frac{A_{2,2}}{(x+b_{2})^{2}}+\cdots+ \frac{A_{2,m_2}}{(x+b_{2})^{m_2}}+\cdots$$ (898)

$$\qquad\cdots+ \frac{A_{i,1}\,x+B_{i,1}}{x^2+c_{i}\,x+d_{i}}+ \fra... ...)^{2}}+\cdots+ \frac{A_{i,m_i}\,x+B_{i,m_i}}{(x^2+c_{i}\,x+d_{i})^{m_i}}+\cdots$$ (899)

と変形する．

問 6.18 (部分分数分解)   任意の有理式 $f(x)=\displaystyle{\frac{p(x)}{q(x)}}$ $(N\leq M)$ は 上式のように部分分数分解される．これを示せ．

Step 4 （部分分数ごとに積分する）     部分分数ごとに積分を行う． すなわち

$$I =\int f(x)\,dx$$ (900)

$$= A_{1,1}\int\frac{dx}{x+b_{1}}+ A_{1,2}\int\frac{dx}{(x+b_{1})^{2}}+\cdots+ A_{1,m_1}\int\frac{dx}{(x+b_{1})^{m_1}}$$ (901)

$$\quad+ A_{2,1}\int\frac{dx}{x+b_{2}}+ A_{2,2}\int\frac{dx}{(x+b_{2})^{2}}+\cdots+ A_{2,m_2}\int\frac{dx}{(x+b_{2})^{m_2}}+\cdots$$ (902)

$$\qquad\cdots+ \int\frac{A_{i,1}\,x+B_{i,1}}{x^2+c_{i}\,x+d_{i}}\,... ...cdots+ \int\frac{A_{i,m_i}\,x+B_{i,m_i}}{(x^2+c_{i}\,x+d_{i})^{m_i}}\,dx+\cdots$$ (903)

を計算する． それぞれの場合ごとに積分を考える．

まず， 分母の因子が $1$ 次式の場合の積分を行なう． すると

$$\int\frac{dx}{(x+b)^{m}} = \left\{ \begin{array}{ll} \log\vert x+b\vert+C & (m=1)\\ [2ex] \displaystyle{\frac{-1}{m-1}\frac{1}{(x+b)^{m-1}}+C} & (m\ge2) \end{array}\right.$$ (904)

を得る．

次に， 分母の因子が $2$ 次式の場合の積分を行なう． $2$ 次式の判別式が負であることに注意すると

$$\int\frac{A\,x+B}{(x^2+c\,x+d)^{m}}\,dx = \int\frac{A\,x+B}{\left( \left(x+\frac{c}{2}\right)^2+ \left(d-\frac{c^2}{4}\right)\right)^m}\,dx$$ (905)

と表される． ここで $${-a=\frac{c}{2}}$$, $${b^2=d-\frac{c^2}{4}>0}$$, $b>0$ とおく． すると

$$\int\frac{A\,x+B}{(x^2+c\,x+d)^{m}}\,dx= \int\frac{A\,x+B} {\left((x-a)^2+b^2\right)^m}\,dx$$ (906)

と表される．この形から積分を進める． さらに式変形すると

$$\int\frac{A\,x+B} {\left((x-a)^2+b^2\right)^m}\,dx= \int \frac{A\,(x-a)+(aA+B)} {\left((x-a)^2+b^2\right)^m}\,dx$$ (907)

$$\qquad= \frac{A}{2} \int \frac{2(x-a)} {\left((x-a)^2+b^2\right)^m}\,dx+ (aA+B) \int \frac{dx} {\left((x-a)^2+b^2\right)^m}$$ (908)

$$\qquad= \frac{A}{2}I_{m}+(aA+B)J_{m}$$ (909)

となる． ここで

$$I_{m} = \int \frac{2(x-a)} {\left((x-a)^2+b^2\right)^m}\,dx\,, \qquad J_{m}= \int \frac{dx} {\left((x-a)^2+b^2\right)^m}$$ (910)

とおく． 第一項目の積分 $I_{m}$ は

$$I_{m} = \int \frac{((x-a)^2+b^2)'} {\left((x-a)^2+b^2\right)^m}\,dx= \l... ...-1}{m-1} \frac{1}{\left((x-a)^2+b^2\right)^{m-1}}+C} & (m>1) \end{array}\right.$$ (911)

と求まる． 第二項目の積分 $J_{m}$ を計算する． $m=1$ のとき

$$J_{1} = \int\frac{dx}{(x-a)^2+b^2}= \frac{1}{b^2}\int \frac{dx}{1+\left... ...{b}\int \frac{\left(\frac{x-a}{b}\right)'} {1+\left(\frac{x-a}{b}\right)^2}\,dx$$ (912)

$$= \frac{1}{b}\mathrm{Tan}^{-1}\left(\frac{x-a}{b}\right)+C$$ (913)

となる． $m\ge2$ のときは漸化式

$$J_{m} = \left(\frac{2m-3}{2m-2}\right) \frac{J_{m-1}}{b^2}+ \frac{1}{2(m-1)b^2} \frac{x-a}{\left((x-a)^2+b^2\right)^{m-1}}$$ (914)

より $J_{m}$ が定まる． これを示す． 置換積分を用いると

$$J_{m} = \int\frac{dx}{\left((x-a)^2+b^2\right)^{m}}= \frac{1}{b^{2m-1}}... ...rac{x-a}{b}\right)^2\right)^m}\,dx= \frac{1}{b^{2m-1}} \int\frac{dt}{(1+t^2)^m}$$ (915)

となる．ここで $${t=\frac{x-a}{b}}$$ とおいた． 式変形すると

$$J_{m} = \frac{1}{b^{2m-1}} \int\frac{(1+t^2)-t^2}{(1+t^2)^m}\,dt$$ (916)

$$= \frac{1}{b^{2m-1}} \int\frac{dt}{(1+t^2)^{m-1}}- \frac{1}{b^{2m-1}} \int\frac{t^2}{(1+t^2)^m}\,dt$$ (917)

$$= \frac{J_{m-1}}{b^2}- \frac{1}{b^{2m-1}} \int t\times\frac{t}{(1+t^2)^{m}}\,dt$$ (918)

$$= \frac{J_{m-1}}{b^2}- \frac{1}{b^{2m-1}} \int t\left(\frac{-1}{2(m-1)}\frac{1}{(1+t^2)^{m-1}}\right)'\,dt$$ (919)

$$= \frac{J_{m-1}}{b^2}+ \frac{1}{2(m-1)b^{2m-1}} \int t\left(\frac{1}{(1+t^2)^{m-1}}\right)'\,dt$$ (920)

$$= \frac{J_{m-1}}{b^2}+ \frac{1}{2(m-1)b^{2m-1}} \left\{ \frac{t}{(1+t^2)^{m-1}}- \int\frac{1}{(1+t^2)^{m-1}}\,dt\right\}$$ (921)

$$= \frac{J_{m-1}}{b^2}+ \frac{1}{2(m-1)b^{2m-1}}\frac{t}{(1+t^2)^{m-1}}- \frac{J_{m-1}}{2(m-1)b^{2}}$$ (922)

$$= \left(\frac{2m-3}{2m-2}\right)\frac{J_{m-1}}{b^2}+ \frac{1}{2(m-1)b^{2m-1}}\frac{t}{(1+t^2)^{m-1}}$$ (923)

$$= \left(\frac{2m-3}{2m-2}\right)\frac{J_{m-1}}{b^2}+ \frac{1}{2(m-1)b^{2}}\frac{x-a}{\left((x-a)^2+b^2\right)^{m-1}}$$ (924)

となり漸化式を得る．

例 6.19 (分母の因数分解)  

$$q(x) =x^2+3\,,$$ (925)

$$q(x) =x^3+1=(x+1)(x^2-x+1)\,,$$ (926)

$$q(x) =x^3+x^2-2x= x(x-1)(x+2)\,.$$ (927)

例 6.20 (部分分数展開の具体例)  

$$\frac{x}{(1+x)^3} = \frac{(1+x)-1}{(1+x)^3}= \frac{1}{(1+x)^2}-\frac{1}{(1+x)^3}\,.$$ (928)

$$\frac{x^2}{(1+x)^3} = \frac{(1+x)^2-2(1+x)+1}{(1+x)^3}= \frac{1}{1+x}-\frac{2}{(1+x)^2}+\frac{1}{(1+x)^3}\,,$$ (929)

$$\frac{x^2-2x+1}{(1+x)^3} = \left( \frac{1}{1+x}-\frac{2}{(1+x)^2}+\frac{1}{(1+x)^3}\right) -2\left(\frac{1}{(1+x)^2}-\frac{1}{(1+x)^3}\right) +\frac{1}{(1+x)^3}$$ (930)

$$= \frac{1}{1+x}-\frac{4}{(1+x)^2}+\frac{4}{(1+x)^3}\,.$$ (931)

問 6.21 (部分分数展開の計算例)   部分分数分解として

$$\frac{1}{x^4-x^3+x+1} = \frac{1}{(x-1)^2(x^2+x+1)}= \frac{A}{x-1}+\frac{B}{(x-1)^2}+ \frac{Cx+D}{x^2+x+1}$$ (932)

とする． 係数 $A$, $B$, $C$, $D$ を定めよ．

問 6.22 (部分分数展開の計算例)   部分分数分解として

$$\frac{1}{x^3(x+1)(x^2+1)^2}= \frac{A}{x}+\frac{B}{x^2}+\frac{C}{x^3}+ \frac{D}{x+1}+ \frac{Ex+F}{x^2+1}+ \frac{Gx+H}{(x^2+1)^2}$$ (933)

とする． 係数 $A$, $B$, $C$, $D$, $E$, $F$, $G$, $H$ を定めよ．

例 6.23 (有理式関数の不定積分の具体例)   不定積分

$$I=\int\frac{x^3+4x^2+2x+1}{x^2+3}\,dx$$ (934)

を計算する． 分子の次数が分母の次数以上であるから， 分子を分母で割り

$$I =\int\left(x+4-\frac{x+11}{x^2+3}\right)\,dx= \int (x+4)\,dx- \int\frac{x+11}{x^2+3}\,dx$$ (935)

$$= \frac{x^2}{2}+4x- \int\frac{x+11}{x^2+3}\,dx$$ (936)

のように変形する． 多項式部分は積分される． 残るは有理式の積分である． これを計算すると

$$\int\frac{x+11}{x^2+3}\,dx = \int\frac{x}{x^2+3}\,dx+ 11\int\frac{dx}{x^2+3}\,dx$$ (937)

$$= \frac{1}{2} \int\frac{(x^2+3)'}{x^2+3}\,dx+ \frac{11\sqrt{3}}{3... ...rac{\left(\frac{x}{\sqrt{3}}\right)'} {1+\left(\frac{x}{\sqrt{3}}\right)^2}\,dx$$ (938)

$$= \frac{1}{2} \log\left\vert x^2+3\right\vert+ \frac{11}{\sqrt{3}} \mathrm{Tan}^{-1}\left(\frac{x}{\sqrt{3}}\right)+C$$ (939)

となる． よって

$$I =\frac{x^2}{2}+4x -\frac{1}{2} \log\left\vert x^2+3\right\vert -\frac{11}{\sqrt{3}} \mathrm{Tan}^{-1}\left(\frac{x}{\sqrt{3}}\right)+C$$ (940)

を得る．

例 6.24 (有理式関数の不定積分の具体例)   不定積分

$$I=\int\frac{dx}{x^3+1}$$ (941)

を計算する．まず， 部分分数分解として

$$\frac{1}{x^3+1} = \frac{1}{(x+1)(x^2-x+1)}= \frac{A}{x+1}+ \frac{B\,x+C}{x^2-x+1}$$ (942)

とする． 通分して同じ次数でまとめると

$$\frac{1}{x^3+1} = \frac{(A+B)x^2+(B+C-A)x+C}{x^3+1}$$ (943)

となる．よって係数は

$$\begin{bmatrix}1 & 1 & 0 \\ -1 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}... ...gin{bmatrix}A \\ B \\ C \end{bmatrix}= \begin{bmatrix}0 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix}$$ (944)

を満足しなければならない． これを解くと

$$A =\frac{1}{2}\,,\qquad B=-\frac{1}{2}\,,\qquad C=1$$ (945)

となる． よって部分分数分解は

$$\frac{1}{x^3+1} = \frac{1}{(x+1)(x^2-x+1)}= \frac{1}{2(x+1)}- \frac{x-2}{2(x^2-x+1)}$$ (946)

と表される． よって，

$$\int\frac{dx}{x^3+1} = \int\left( \frac{1}{2(x+1)}-\frac{x-2}{2(x^2-x+1)} \right)\,dx$$ (947)

$$= \frac{1}{2} \int\frac{dx}{x+1}- \frac{1}{2} \int\frac{x-2}{x^2-x+1}dx$$ (948)

$$= \frac{1}{2}\log\vert x+1\vert- \frac{1}{2} \int\frac{\left(x-\frac{1}{2}\right)-\frac{3}{2}} {\left(x-\frac{1}{2}\right)^2+\frac{3}{4}}\,dx$$ (949)

$$= \frac{1}{2}\log\vert x+1\vert- \frac{1}{2} \int\frac{\left(x-\f... ...}{4}}\,dx+ \frac{3}{4} \int\frac{dx} {\left(x-\frac{1}{2}\right)^2+\frac{3}{4}}$$ (950)

$$= \frac{1}{2}\log\vert x+1\vert- \frac{1}{4} \int\frac{\left(\lef... ...eft(\frac{2x-1}{\sqrt{3}}\right)'} {1+\left(\frac{2x-1}{\sqrt{3}}\right)^2}\,dx$$ (951)

$$= \frac{1}{2}\log\vert x+1\vert- \frac{1}{4}\log\left\vert \left(... ...\vert+ \frac{\sqrt{3}}{2} \mathrm{Tan}^{-1}\left(\frac{2x-1}{\sqrt{3}}\right)+C$$ (952)

$$= \frac{1}{4}\log\left\vert \frac{(x+1)^2}{x^2-x+1}\right\vert+ \frac{\sqrt{3}}{2} \mathrm{Tan}^{-1}\left(\frac{2x-1}{\sqrt{3}}\right)+C$$ (953)

を得る．

例 6.25 (有理式関数の不定積分の具体例)   不定積分

$$\int\frac{x+1}{x^3+x^2-2x}\,dx$$ (954)

を計算する． まず，部分分数分解する．

$$\frac{x+1}{x^3+x^2-2x} = \frac{x+1}{x(x-1)(x+2)}= \frac{A}{x}+\frac{B}{x-1}+\frac{C}{x+2}$$ (955)

$$= \frac{(A+B+C)x^2+(A+2B-C)x-2A}{x(x-1)(x+2)}$$ (956)

とおくと，

$$\begin{bmatrix}1 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & -1 \\ -2 & 0 & 0 \end{bmatrix... ...gin{bmatrix}A \\ B \\ C \end{bmatrix}= \begin{bmatrix}0 \\ 1 \\ 1 \end{bmatrix}$$ (957)

であり，これを解くと

$$A =-\frac{1}{2}\,,\quad B=\frac{2}{3}\,,\quad C=-\frac{1}{6}$$ (958)

となる．よって

$$\frac{x+1}{x^3+x^2-2x} = -\frac{1}{2x}+ \frac{2}{3(x-1)}- \frac{1}{6(x+2)}$$ (959)

を得る． これを積分して

$$I= \int\frac{x+1}{x^3+x^2-2x}\,dx = \int\left( -\frac{1}{2x}+ \frac{2}{3(x-1)}- \frac{1}{6(x+2)}\right)\,dx$$ (960)

$$= -\frac{1}{2}\int\frac{dx}{x}+ \frac{2}{3}\int\frac{dx}{x-1}- \frac{1}{6}\int\frac{dx}{x+2}$$ (961)

$$= -\frac{1}{2}\log\vert x\vert+ \frac{2}{3}\log\vert x-1\vert- \frac{1}{6}\log\vert x+2\vert+C$$ (962)

$$= \frac{1}{6}\log \left\vert\frac{(x-1)^4}{x^3(x+2)}\right\vert+C$$ (963)

を得る．

例 6.26 (有理式関数の不定積分の具体例)   不定積分

$$\int\frac{x-11}{x^3+1}\,dx$$ (964)

を計算する． まず

$$\frac{x-11}{x^3+1}= \frac{A}{x+1}+ \frac{B\,x+C}{x^2-x+1} = \frac{(A+B)x^2+(-A+B+C)\,x+(A+C)} {(x+1)(x^2-x+1)}$$ (965)

とおくと

$$\begin{bmatrix}1 & 1 & 0 \\ -1 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \end{bmatrix}... ...n{bmatrix}A \\ B \\ C \end{bmatrix}= \begin{bmatrix}0 \\ 1 \\ -11 \end{bmatrix}$$ (966)

より

$$A =-4\,,\qquad B=4\,,\qquad C=7$$ (967)

が定まる．よって

$$\frac{x-11}{x^3+1} = \frac{-4}{x+1}+ \frac{4x+7}{x^2-x+1}$$ (968)

となる．これより

$$\int\frac{x-11}{x^3+1}\,dx = -4\int\frac{dx}{x+1}+ \int\frac{4x+7}{x^2-x+1}\,dx$$ (969)

$$= -4\log\vert x+1\vert+ \int\frac{4\left(x-\frac{1}{2}\right)+9} {\left(x-\frac{1}{2}\right)^2+\frac{3}{4}}\,dx$$ (970)

$$= -4\log\vert x+1\vert+ 4\int\frac{\left(x-\frac{1}{2}\right)} {\... ...2+\frac{3}{4}}\,dx+ 9\int\frac{1}{\left(x-\frac{1}{2}\right)^2+\frac{3}{4}}\,dx$$ (971)

$$= -4\log\vert x+1\vert+ 2\int\frac{\left(\left(x-\frac{1}{2}\righ... ...eft(\frac{2x-1}{\sqrt{3}}\right)'} {1+\left(\frac{2x-1}{\sqrt{3}}\right)^2}\,dx$$ (972)

$$= -4\log\vert x+1\vert+ 2\log\left\vert\left(x-\frac{1}{2}\right)... ...}{4}\right\vert+ 6\sqrt{3}\mathrm{Tan}^{-1}\left(\frac{2x-1}{\sqrt{3}}\right)+C$$ (973)

$$= 2\log\left\vert\frac{x^2-x+1}{(x+1)^2}\right\vert+ 6\sqrt{3}\mathrm{Tan}^{-1}\left(\frac{2x-1}{\sqrt{3}}\right)+C$$ (974)

を得る．

例 6.27 (有理式関数の不定積分の具体例)  

$$\int\frac{dx}{(1+x^2)^2}= \int\frac{(1+x^2)-x^2}{(1+x^2)^2}\,dx= \int\frac{1+x^2}{(1+x^2)^2}\,dx- \int\frac{x^2}{(1+x^2)^2}\,dx$$ (975)

$$= \int\frac{dx}{1+x^2}-\int x\frac{x}{(1+x)^2}\,dx= \mathrm{Tan}^{-1}x- \int x\left(\frac{-1}{2}\right)\left(\frac{1}{1+x^2}\right)'\,dx$$ (976)

$$= \mathrm{Tan}^{-1}x+\frac{1}{2} \int x\left(\frac{1}{1+x^2}\righ... ...thrm{Tan}^{-1}x+\frac{1}{2}x\frac{1}{1+x^2} -\frac{1}{2}\int\frac{1}{1+x^2}\,dx$$ (977)

$$= \mathrm{Tan}^{-1}x+ \frac{x}{2(1+x^2)} -\frac{1}{2}\mathrm{Tan}^{-1}x+C$$ (978)

$$= \frac{1}{2}\mathrm{Tan}^{-1}x+ \frac{x}{2(1+x^2)}+C\,.$$ (979)

Kondo Koichi
平成17年8月31日