関数
に根号
を含む場合の
不定積分を考える.
変数変換
![$\displaystyle t=\sqrt[n]{ax+b}$](img1933.png) |
(980) |
とおき置換積分法で求積する.
両辺を
乗すると
![$\displaystyle x$](img763.png) |
![$\displaystyle = \frac{t^n-b}{a}$](img1934.png) |
(981) |
を得る.またこれより
![$\displaystyle \frac{dx}{dt}$](img1762.png) |
![$\displaystyle = \frac{n\,t^{n-1}}{a}$](img1935.png) |
(982) |
が成り立つ.よって
の不定積分は
![$\displaystyle \int f(x)\,dx$](img1698.png) |
![$\displaystyle = \int f\left(\frac{t^n-b}{a}\right) \frac{dx}{dt}\,dt= \frac{n}{a} \int f\left(\frac{t^n-b}{a}\right)t^{n-1}\,dt$](img1936.png) |
(983) |
より求められる.
例 6.28 (根号を含む場合の計算例)
不定積分
![$\displaystyle I$](img1740.png) |
![$\displaystyle = \int\frac{dx}{x+2\sqrt{x-1}}$](img1937.png) |
(984) |
を考える.まず
![$\displaystyle t$](img1758.png) |
![$\displaystyle =\sqrt{x-1}$](img1938.png) |
(985) |
とおく.これより
![$\displaystyle x$](img763.png) |
![$\displaystyle =t^2+1\,,\qquad \frac{dx}{dt}=2t$](img1939.png) |
(986) |
となる.よって置換積分法より
を得る.
関数
に
を
含む場合を考える.
このときまず
![$\displaystyle \sqrt{ax^2+bx+c}$](img1945.png) |
![$\displaystyle =t-\sqrt{a}\,x$](img1946.png) |
(990) |
とおく.両辺を二乗すれば
![$\displaystyle x$](img763.png) |
![$\displaystyle = \frac{t^2-c}{b+\sqrt{a}\,t}$](img1947.png) |
(991) |
を得る.これより
![$\displaystyle \frac{dx}{dt}$](img1762.png) |
![$\displaystyle = \frac{2(\sqrt{a}\,t^2+b\,t+c\sqrt{a})}{(a+2\sqrt{a}\,t)^2}$](img1948.png) |
(992) |
となる.
このとき不定積分は
![$\displaystyle I$](img1740.png) |
![$\displaystyle =\int f(x)\,dx= \int f\left(\frac{t^2-c}{b+\sqrt{a}\,t}\right) \frac{2(\sqrt{a}t^2+b\,t+c\sqrt{a})}{(b+2\sqrt{a}\,t)^2}\,dt$](img1949.png) |
(993) |
により求まる.
例 6.29 (根号を含む場合の計算例)
不定積分
![$\displaystyle I$](img1740.png) |
![$\displaystyle =\int\frac{dx}{\sqrt{x^2-1}}$](img1950.png) |
(994) |
を考える.
変数変換
![$\displaystyle \sqrt{x^2-1}$](img1951.png) |
![$\displaystyle =t-x$](img1952.png) |
(995) |
とおく.両辺を二乗すれば
![$\displaystyle x$](img763.png) |
![$\displaystyle = \frac{1}{2} \left( t+\frac{1}{t} \right)$](img1953.png) |
(996) |
を得る.これより
![$\displaystyle \frac{dx}{dt}$](img1762.png) |
![$\displaystyle = \frac{1}{2}\left(1-\frac{1}{t^2}\right)$](img1954.png) |
(997) |
となる.
よって不定積分は
と求まる.またこの結果は
![$\displaystyle I$](img1740.png) |
![$\displaystyle = \mathrm{Cosh}^{-1}x+C$](img1957.png) |
(1000) |
とも表される.
例 6.30 (根号を含む場合の計算例)
不定積分
![$\displaystyle I$](img1740.png) |
![$\displaystyle =\int\frac{x}{\sqrt{2-x-x^2}}dx= \int\frac{x}{\sqrt{-(x+2)(x-1)}}dx= \int\frac{x}{(x+2)\sqrt{\frac{1-x}{x+2}}}dx$](img1958.png) |
(1001) |
を求める.
変数変換
![$\displaystyle \sqrt{\frac{1-x}{x+2}}=t$](img1959.png) |
(1002) |
とおく.このとき
![$\displaystyle x=\frac{1-2t^2}{1+t^2}=-2+\frac{3}{1+t^2}\,,\quad \frac{dx}{dt}=-\frac{6t}{(1+t^2)^2}$](img1960.png) |
(1003) |
である.よって
Kondo Koichi
平成17年8月31日