2.23 関数の極限

定義 2.72 (右極限,左極限)   変数 $ x$ を右から $ a$ に近づけたときの $ f(x)$ の値が $ b$ に近づくとき

  $\displaystyle \lim_{x\to a+0}f(x)=b$ (130)

と書き,右極限(right-hand limit)と呼ぶ. 同様に, 変数 $ x$ を左から $ a$ に近づけたときの $ f(x)$ の値が $ b$ に近づくとき

  $\displaystyle \lim_{x\to a-0}f(x)=b$ (131)

と書き,左極限(left-hand limit)と呼ぶ.

また略記として

  $\displaystyle f(a+0)=\lim_{x\to a+0}f(x)\,,\qquad f(a-0)=\lim_{x\to a-0}f(x)$ (132)

と書くこともある.

定義 2.73 (関数の極限)   変数 $ x$$ a$ に近づけるとき, その近づけ方に依らず全て同じ極限となるとき, すなわち

$\displaystyle \lim_{x\to a+0}f(x)= \lim_{x\to a-0}f(x)=b$ (133)

が成り立つとき, そのときに限り $ x\to a$ における関数 $ f(x)$極限が存在し,

  $\displaystyle \lim_{x\to a}f(x)=b$ (134)

と書く. 極限が存在するとき次のように表現する:

  $ x$$ a$ に限りなく近づくとき,    
      関数 $ f(x)$ には極限が存在し,その極限値は $ b$ である. (135)
  $\displaystyle \Leftrightarrow \displaystyle{\lim_{x\to a}f(x)=b}.$ (136)
  $\displaystyle \Leftrightarrow f(x) \to b \quad (x\to a).$ (137)
  $\displaystyle \Leftrightarrow$   $ f(x)$$ x\to a$ において $ b$収束する(convergent) (138)

収束しないとき発散する(divergent)という.

2.74 (関数の極限の具体例)   関数 $ f(x)=x^2$ を考える. このとき

  $\displaystyle \lim_{x\to2-0}f(x)=\lim_{x \to2+0}f(x)=4\,$ (139)

となる. 右からの極限も左からの極限も存在し同じ値となる. よって

  $\displaystyle \lim_{x\to2}f(x)=4\,$ (140)

である.

2.75 (関数の極限の具体例)   関数

  $\displaystyle f(x)=\frac{\vert x\vert}{x}\quad(x\ne0)$ (141)

を考える. $ x>0$ のとき $ f(x)=x/x=1$ であるから 右極限は

  $\displaystyle \lim_{x\to+0}f(x)=1\,$ (142)

となる. $ x<0$ のとき $ f(x)=(-x)/x=-1$ であるから 左極限は

  $\displaystyle \lim_{x\to-0}f(x)=-1\,$ (143)

となる. 右極限と左極限が一致しないので, 極限 $ \displaystyle{\lim_{x\to0}f(x)}$ は存在しない.

2.76 (関数の極限の具体例)   関数

  $\displaystyle f(x)=\sin\left(\frac{1}{x}\right)\,$ (144)

を考える. $ x\to+0$ のとき $ 1/x\to+\infty$ である. $ 1/x\to+\infty$ であるから $ f(x)$$ 1$$ -1$ の間を振動する. よって右極限 $ \displaystyle{\lim_{x \to +0}f(x)}$は存在しない. $ x\to-0$ のとき $ 1/x\to-\infty$ である. 以下同様で左極限 $ \displaystyle{\lim_{x \to -0}f(x)}$ は存在しない. 右極限も左極限も存在しないので, 極限 $ \displaystyle{\lim_{x\to0}f(x)}$ は存在しない.

Kondo Koichi
平成17年8月31日