3.11 三角関数の微分

定理 3.24 (三角関数の微分)  

$\displaystyle \frac{d}{dx}\sin x$ $\displaystyle =\cos x$ (266)
$\displaystyle \frac{d}{dx}\cos x$ $\displaystyle =-\sin x$ (267)
$\displaystyle \frac{d}{dx}\tan x$ $\displaystyle =\frac{1}{\cos^2 x}$ (268)

3.25   これを示せ.


(証明) $ y=f(x)=\sin x$ とおく.定義に従い計算すると,

$\displaystyle \frac{dy}{dx}=f'(x)= \lim_{h\to0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}= \lim_{h\to0}\frac{\sin(x+h)-\sin(x)}{h}$ (269)

を得る.ここで

$\displaystyle \sin(x+h)-\sin(x)$ $\displaystyle = \sin\left(x+\frac{h}{2}+\frac{h}{2}\right)- \sin\left(x+\frac{h}{2}-\frac{h}{2}\right)$ (270)
  $\displaystyle = \sin\left(x+\frac{h}{2}\right)\cos\left(\frac{h}{2}\right)+ \cos\left(x+\frac{h}{2}\right)\sin\left(\frac{h}{2}\right)$ (271)
  $\displaystyle \quad- \sin\left(x+\frac{h}{2}\right)\cos\left(\frac{h}{2}\right)+ \cos\left(x+\frac{h}{2}\right)\sin\left(\frac{h}{2}\right)$ (272)
  $\displaystyle = 2\cos\left(x+\frac{h}{2}\right)\sin\left(\frac{h}{2}\right)$ (273)

であることを用いると

$\displaystyle \frac{dy}{dx}$ $\displaystyle = \lim_{h\to0} \frac{2\cos\left(x+\frac{h}{2}\right)\sin\left(\fr...
..._{h\to0} \cos\left(x+\frac{h}{2}\right)\frac{\sin\left(\frac{h}{2}\right)}{h/2}$ (274)
  $\displaystyle = \lim_{h\to0} \cos\left(x+\frac{h}{2}\right) \times \lim_{\frac{...
...to0} \frac{\sin\left(\frac{h}{2}\right)}{\frac{h}{2}} = \cos(x)\times 1=\cos(x)$ (275)

を得る.

次に $ y=f(x)=\cos x$ とおく.定義に従い計算すると,

$\displaystyle \frac{dy}{dx}=f'(x)= \lim_{h\to0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}= \lim_{h\to0}\frac{\cos(x+h)-\cos(x)}{h}$ (276)

を得る.ここで

$\displaystyle \cos(x+h)-\cos(x)$ $\displaystyle = \cos\left(x+\frac{h}{2}+\frac{h}{2}\right)- \cos\left(x+\frac{h}{2}-\frac{h}{2}\right)$ (277)
  $\displaystyle = \cos\left(x+\frac{h}{2}\right)\cos\left(\frac{h}{2}\right)- \sin\left(x+\frac{h}{2}\right)\sin\left(\frac{h}{2}\right)$ (278)
  $\displaystyle \quad- \cos\left(x+\frac{h}{2}\right)\cos\left(\frac{h}{2}\right)- \sin\left(x+\frac{h}{2}\right)\sin\left(\frac{h}{2}\right)$ (279)
  $\displaystyle =-2\sin\left(x+\frac{h}{2}\right)\sin\left(\frac{h}{2}\right)$ (280)

であることを用いると

$\displaystyle \frac{dy}{dx}$ $\displaystyle = \lim_{h\to0} \frac{-2\sin\left(x+\frac{h}{2}\right)\sin\left(\f...
...{h\to0} \sin\left(x+\frac{h}{2}\right) \frac{\sin\left(\frac{h}{2}\right)}{h/2}$ (281)
  $\displaystyle =-\lim_{h\to0} \sin\left(x+\frac{h}{2}\right) \times \lim_{\frac{...
...o0} \frac{\sin\left(\frac{h}{2}\right)}{\frac{h}{2}} =-\sin(x)\times 1=-\sin(x)$ (282)

を得る.

最後に $ y=f(x)=\tan(x)$ を考える.このとき

$\displaystyle y=f(x)=\tan(x)=\frac{\sin(x)}{\cos(x)}$ (283)

であるから商の微分公式より

$\displaystyle \frac{dy}{dx}$ $\displaystyle = \frac{ \left(\sin(x)\right)'\cos(x)- \sin(x)\left(\cos(x)\right)'}{\cos^2(x)} = \frac{\cos^2(x)+\sin^2(x)}{\cos^2(x)}$ (284)
  $\displaystyle =\frac{1}{\cos^2(x)}$ (285)

を得る.

Kondo Koichi
平成17年8月31日