3.12 逆三角関数の微分

定理 3.26 (逆三角関数の微分)  

$\displaystyle \frac{d}{dx}\,\mathrm{Sin}^{-1} x=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\,$ (286)
$\displaystyle \frac{d}{dx}\,\mathrm{Cos}^{-1} x=\frac{-1}{\sqrt{1-x^2}}\,$ (287)
$\displaystyle \frac{d}{dx}\,\mathrm{Tan}^{-1} x=\frac{1}{1+x^2}\,$ (288)

3.27   これを示せ.


(証明) $ y=f(x)=\mathrm{Sin}^{-1}(x)$ とおく. 主値を考えているので値域は

$\displaystyle -\frac{\pi}{2}\leq y\leq \frac{\pi}{2}$ (289)

である. このとき $ f(x)$ の逆関数とその微分は

$\displaystyle x=f^{-1}(y)=\sin(y)\,,\qquad \frac{dx}{dy}=\left(\sin(y)\right)'=\cos(y)$ (290)

である.ここで $ \cos(y)$$ x$ の関数で表すことを考える. $ \cos^2(y)+\sin^2(y)=1$$ x=\sin(y)$より

$\displaystyle \cos(y)=\pm\sqrt{1-\sin^2(y)}=\pm\sqrt{1-x^2}$ (291)

となる. 符号を片方のみ採用する. $ -\pi/2\leq y\leq \pi/2$ より $ \cos y\geq0$ となるので, 上式の右辺も 0 以上でなければならない. よって

$\displaystyle \cos y=\sqrt{1-x^2}$ (292)

である.以上より

$\displaystyle \frac{dy}{dx}=f'(x)= \frac{1}{\quad\displaystyle{\frac{dx}{dy}}\quad}= \frac{1}{\cos(y)}= \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$ (293)

を得る.

次に $ y=f(x)=\mathrm{Cos}^{-1}(x)$ $ (0\leq y\leq\pi)$ とおく. この逆関数とその微分は

$\displaystyle x=f^{-1}(y)=\cos(y)\,,\qquad \frac{dx}{dy}=-\sin(y)$ (294)

である. 主値 $ 0\leq y\leq\pi$ に注意して $ \sin(y)$$ x$ の関数で表わすと

$\displaystyle \sin(y)=\sqrt{1-\cos(y)}=\sqrt{1-x^2}$ (295)

である.ここで $ \sin(y)\geq0\ (0\leq y\leq\pi)$ を用いた. 以上より

$\displaystyle \frac{dy}{dx}=f'(x)=\frac{1}{\quad\displaystyle{\frac{dx}{dy}}\quad}= \frac{1}{-\sin(y)}=\frac{-1}{\sqrt{1-x^2}}$ (296)

を得る.

最後に $ y=f(x)=\mathrm{Tan}^{-1}(x)$ を考える. この逆関数とその微分は

$\displaystyle x$ $\displaystyle =f^{-1}(y)=\tan y\,,$ (297)
$\displaystyle \frac{dx}{dy}$ $\displaystyle = \frac{1}{\cos^2y}= \frac{\cos^2y+\sin^2y}{\cos^2y}= 1+\tan^2y=1+x^2$ (298)

となる.これより

$\displaystyle \frac{dy}{dx}=f'(x)=\frac{1}{\quad\displaystyle{\frac{dx}{dy}}\quad}= \frac{1}{1+x^2}$ (299)

を得る.

Kondo Koichi
平成17年8月31日