3.12 逆三角関数の微分
定理 3.26 (逆三角関数の微分)
(286) (287) (288)
問 3.27 これを示せ.
(証明)
とおく. 主値を考えているので値域は
(289)
である. このときの逆関数とその微分は
(290)
である.ここでを
の関数で表すことを考える.
と
より
(291)
となる. 符号を片方のみ採用する.より
となるので, 上式の右辺も 0 以上でなければならない. よって
(292)
である.以上より
(293)
を得る.次に
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とおく. この逆関数とその微分は
(294)
である. 主値に注意して
を
の関数で表わすと
(295)
である.ここでを用いた. 以上より
(296)
を得る.最後に
を考える. この逆関数とその微分は
(297) (298)
となる.これより
(299)
を得る.
Kondo Koichi
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平成17年8月31日