3.13 双曲線関数の微分

定理 3.28 (双曲線関数の微分)  

$\displaystyle \frac{d}{dx}\,\sinh x$ $\displaystyle =\cosh x$ (300)
$\displaystyle \frac{d}{dx}\,\cosh x$ $\displaystyle =\sinh x$ (301)
$\displaystyle \frac{d}{dx}\,\tanh x$ $\displaystyle =\frac{1}{\cosh^2 x}$ (302)

3.29   これを示せ.


$ y=f(x)=\sinh(x)$ とおく. このとき

$\displaystyle \frac{dy}{dx}$ $\displaystyle =f'(x)=\frac{d}{dx}\sinh(x)= \frac{d}{dx}\frac{e^{x}-e^{-x}}{2}= \frac{1}{2}\left(\frac{d}{dx}e^{x}-\frac{d}{dx}e^{-x}\right)$ (303)
  $\displaystyle = \frac{1}{2}\left(e^{x}+e^{-x}\right)=\cosh(x)$ (304)

を得る.次に $ y=f(x)=\cosh(x)$ とおく. このとき

$\displaystyle \frac{dy}{dx}$ $\displaystyle =f'(x)=\frac{d}{dx}\cosh(x)= \frac{d}{dx}\frac{e^{x}+e^{-x}}{2}= \frac{1}{2}\left(\frac{d}{dx}e^{x}+\frac{d}{dx}e^{-x}\right)$ (305)
  $\displaystyle = \frac{1}{2}\left(e^{x}-e^{-x}\right)=\sinh(x)$ (306)

を得る. 最後に $ y=f(x)=\tanh(x)$ とおく. このとき

$\displaystyle \frac{dy}{dx}$ $\displaystyle =f'(x)=\frac{d}{dx}\tanh(x)= \frac{d}{dx}\left(\frac{\sinh(x)}{\cosh(x)}\right)= \frac{(\sinh x)'\cosh x-\sinh x(\cosh x)'}{\cosh^2x}$ (307)
  $\displaystyle = \frac{\cosh^2 x-\sinh^2 x}{\cosh^2x}= \frac{1}{\cosh^2x}$ (308)

を得る.

Kondo Koichi
平成17年8月31日