3.14 逆双曲線関数の微分

定理 3.30 (逆双曲線関数の微分)  

$\displaystyle \frac{d}{dx}\,\sinh^{-1} x=\frac{1}{\sqrt{x^2+1}}\,$ (309)
$\displaystyle \frac{d}{dx}\,\mathrm{Cosh}^{-1} x=\frac{1}{\sqrt{x^2-1}}\,$ (310)
$\displaystyle \frac{d}{dx}\,\tanh^{-1} x=\frac{1}{1-x^2}\,$ (311)

3.31   これを示せ.


$ y=f(x)=\sinh^{-1}(x)$ とおく.このとき逆関数とその微分は

$\displaystyle x=f^{-1}(y)=\sinh(y)\,,\qquad \frac{dx}{dy}=\cosh(y)$ (312)

である.ここで $ \cosh(y)$$ x$ の関数で表わす. $ \cosh^2 y-\sinh^2 y=1$ より

$\displaystyle \cosh y=\pm\sqrt{1+\sinh^2 y}=\pm\sqrt{1+x^2}$ (313)

である. $ e^{\pm y}\geq0$ であり $ \cosh y=(e^{y}+e^{-y})/2\geq1$ となることに考慮すると, 複合は正のみが採用される. よって $ \cosh y=\sqrt{1+x^2}$ となる. 以上より

$\displaystyle \frac{dy}{dx}$ $\displaystyle =f'(x)= \frac{1}{\quad\displaystyle{\frac{dx}{dy}}\quad}= \frac{1}{\cosh y}=\frac{1}{\sqrt{1+x^2}}$ (314)

を得る.

次に $ y=f(x)=\mathrm{Cosh}^{-1} x\ \geq0$ とおく. このとき逆関数とその微分は

$\displaystyle x=f^{-1}(y)=\cosh y\,,\qquad \frac{dx}{dy}=\sinh y$ (315)

となる.ここで $ \sinh(y)$$ x$ の関数で表わす. $ \cosh^2 y-\sinh^2 y=1$ より

$\displaystyle \sinh y=\pm\sqrt{\cosh^2 y-1}=\pm\sqrt{x^2-1}$ (316)

である.$ y\geq0$ のとき $ \sinh y\geq 0$ であるから 複合は正を採用する.よって $ \sinh y=\sqrt{x^2-1}$ となる. 以上より

$\displaystyle \frac{dy}{dx}$ $\displaystyle =f'(x)= \frac{1}{\quad\displaystyle{\frac{dx}{dy}}\quad}= \frac{1}{\sinh y}=\frac{1}{\sqrt{x^2-1}}$ (317)

を得る.

最後に $ y=\tanh^{-1} x$ とおく.この逆関数とその微分は

$\displaystyle x$ $\displaystyle =f^{-1}(y)=\tanh y\,,$ (318)
$\displaystyle \frac{dx}{dy}$ $\displaystyle =\frac{1}{\cosh^2 y}= \frac{\cosh^2y-\sinh^2y}{\cosh^2y}= 1-\left(\frac{\sinh y}{\cosh y}\right)^2= 1-\tanh^2y=1-x^2$ (319)

となる.よって

$\displaystyle \frac{dy}{dx}$ $\displaystyle =f'(x)= \frac{1}{\quad\displaystyle{\frac{dx}{dy}}\quad}= \frac{1}{\quad\displaystyle{\frac{1}{\cosh^2 y}}\quad}= \frac{1}{1-x^2}$ (320)

を得る.

Kondo Koichi
平成17年8月31日