3.15 高階導関数

定義 3.32 (高階導関数)   関数 $f'(x)$ が微分可能のとき，$f'(x)$ の導関数

$$f''(x) =\lim_{h\to0}\frac{f'(x+h)-f'(x)}{h}$$ (321)

を2 階導関数（second order derivative）という． このとき $f(x)$ は 2 回微分可能（two times differentiable）と呼ぶ． 同様に $f(x)$ を $n$ 回繰り返し微分した関数を $n$ 階導関数（$n$-th order derivative）といい， $f^{(n)}(x)$ と書き表わす． 関数 $f^{(n)}(x)$ は

$$f^{(n)}(x) = \lim_{h\to0} \frac{f^{(n-1)}(x+h)-f^{(n-1)}(x)}{h}\qquad (n=1,2,3,\cdots)$$ (322)

と再帰的に定義する． ただし $f^{(0)}(x)=f(x)$ とする． $f^{(n)}(x)$ が存在するとき $f(x)$ は $n$ 回微分可能（$n$ times differentiable）という．

注意 3.33 (高階導関数)   高階導関数 $f^{(n)}(x)$ は関数 $y=f(x)$ に $n$ 回 微分演算 $${\frac{d}{dx}}$$ を作用させたものであるから， 記号の表記は次のように行う：

$$f^{(n)}= \underbrace{\frac{d}{dx}\frac{d}{dx}\cdots\frac{d}{dx}}_... ...ac{d}{dx}\right)^{n}f= \frac{d^n}{dx^n}f= \frac{d^nf}{dx^n}= \frac{d^ny}{dx^n}.$$ (323)

例 3.34 (高階導関数の計算例)   $y=x^{\alpha}$ の高階導関数を求める． $\alpha$ が自然数ではないとき，

$$y' =\alpha\,x^{\alpha-1}\,,$$ (324)

$$y''&=\alpha(\alpha-1)\,x^{\alpha-2}\,,$$ (325)

$$y''' =\alpha(\alpha-1)(\alpha-2)\,x^{\alpha-3}\,,$$ (326)

$$\vdots$$

$$y^{(n)} =\alpha(\alpha-1)(\alpha-2)\cdots(\alpha-n+1)x^{\alpha-n}=\,,$$ (327)

$$y^{(n+1)} =\alpha(\alpha-1)(\alpha-2)\cdots(\alpha-n)x^{\alpha-n-1}\,$$ (328)

$$\vdots$$

を得る． よって一般的に

$$y^{(n)}=\frac{\alpha!}{(\alpha-n)!}x^{\alpha-n}$$ (329)

と表される．

定義 3.35 (階乗の拡張)   $\alpha\in\mathbb{R}$ に対して

$$\alpha!=\alpha(\alpha-1)!, \quad 0!=1$$ (330)

と定義する．

例 3.36 (高階導関数の計算例)   自然数 $n$ とする．$x^n$ の高階導関数は

$$y =x^{n}\,,$$ (331)

$$y' =n\,x^{n-1}\,,$$ (332)

$$y''&=n(n-1)\,x^{n-2}\,,$$ (333)

$$y''' =n(n-1)(n-2)\,x^{n-3}\,,$$ (334)

$$\vdots$$

$$y^{(n-1)} =n(n-1)(n-2)\cdots 2\cdot\,x\,,$$ (335)

$$y^{(n)} =n(n-1)(n-2)\cdots 2\cdot 1\,,$$ (336)

$$y^{(n+1)} =0\,,$$ (337)

$$y^{(n+2)} =0\,$$ (338)

$$\vdots$$

より，一般的に

$$y^{(n)}= \left\{ \begin{array}{ll} \displaystyle{\frac{n!}{(n-k)!}x^{n-k}} & (k\leq n) \\ 0 & (k>n) \end{array} \right.$$ (339)

と表される．

例 3.37 (高階導関数の計算例)   $y=e^{a\,x}$ の高階導関数を求める． 合成関数の微分を繰り返して

$$y =e^{a\,x}\,,$$ (340)

$$y' =a\,e^{a\,x}\,,$$ (341)

$$y''&=a^2\,e^{a\,x}\,,$$ (342)

$$y''' =a^3\,e^{a\,x}\,,$$ (343)

$$\vdots$$

$$y^{(n)} =a^n\,e^{a\,x}\,$$ (344)

を得る．

例 3.38 (高階導関数の計算例)  

$$y =\sin x\,,$$ (345)

$$y' =\cos x\,,$$ (346)

$$y''&=-\sin x\,,$$ (347)

$$y''' =-\cos x\,,$$ (348)

$$y^{(4)} =\sin x\,,$$ (349)

$$\cdots$$ (350)

$$y^{(n)} = \left\{ \begin{array}{ll} \sin x & (n=4k) \\ \cos x & (n=4k+1) \\ -\sin x & (n=4k+2) \\ -\cos x & (n=4k+3) \end{array}\right.$$ (351)

$$y^{(n)} = \sin\left(x+\frac{n\pi}{2}\right)\,.$$ (352)

問 3.39 (高階導関数の例)   $y=\cos x$, $y=\sinh x$, $y=\cosh x$ の $y^{(n)}$ を求めよ．

例 3.40 (高階導関数の計算例)  

$$y =\sqrt{1-x}\,,$$ (353)

$$y' = -\frac{1}{2}\frac{1}{\sqrt{1-x}}\,,$$ (354)

$$y''&= -\frac{1}{2\cdot2}\frac{1}{\sqrt{(1-x)^3}}\,,$$ (355)

$$y''' = -\frac{1\cdot3}{2\cdot2\cdot2}\frac{1}{\sqrt{(1-x)^5}}\,,$$ (356)

$$y^{(4)} = -\frac{1\cdot3\cdot5}{2\cdot2\cdot2\cdot2}\frac{1}{\sqrt{(1-x)^7}}\,,$$ (357)

$$\vdots$$ (358)

$$y^{(n)} = -\frac{(2n-3)!!}{2^n} \frac{1}{\sqrt{(1-x)^{2n-1}}}$$ (359)

定義 3.41 (階乗の拡張)   整数 $n$ に対して $n!!$ を

$$n!!=n(n-2)!!, \quad 0!!=1, \quad (-1)!!=1$$ (360)

と定義する． すなわち奇数，偶数に対しては

$$(2n+1)!! =(2n+1)(2n-1)(2n-3)\cdots7\cdot5\cdot3\cdot1\,,$$ (361)

$$(2n)!! =(2n)(2n-2)(2n-4)\cdots8\cdot6\cdot4\cdot2\,$$ (362)

と表される．

問 3.42 (高階導関数)   $f(x)=\log\vert x\vert$ の高階導関数を求めよ．

Kondo Koichi
平成17年8月31日