3.16 $ C^n$ 級の関数

定理 3.43 (微分可能性と連続性)   $ f(x)$$ x=a$ で微分可能なとき, $ f(x)$$ x=a$ で連続である.

(証明) 点 $ x=a$ で微分が可能なので

$\displaystyle \lim_{x\to a}\frac{f(x)-f(a)}{x-a}=f'(a)$ (363)

が成り立つ.これより

$\displaystyle \lim_{x\to a}\left(\frac{f(x)-f(a)}{x-a}-f'(a)\right)=0$ (364)

となる.ここで


とおく.このとき

$\displaystyle \lim_{x\to a}\varepsilon(x)=0$ (366)

である.([*])式を変形すると

$\displaystyle f(x)-f(a)=f'(a)(x-a)+\varepsilon(x)(x-a)$ (367)

となる.右辺を $ x\to a$ の極限をとる. すると

$\displaystyle \lim_{x\to a}\left(f'(a)(x-a)+\varepsilon(x)(x-a)\right)= f'(a)\times0+0\times0=0$ (368)

である.よって左辺も 0 となるので

$\displaystyle \lim_{x\to a}(f(x)-f(a))=0 \quad\Rightarrow\quad \lim_{x\to a}f(x)=f(a)$ (369)

を得る.よって $ f(x)$$ x=a$ で連続である.

定義 3.44 ($ C^n$ 級関数)   $ f(x)$ が連続関数のとき $ f(x)$$ C^0$ 級の関数という. 関数 $ f(x)$$ n$ 回微分可能であり, $ f^{(n)}(x)$ が連続関数であるとき, $ f(x)$$ n$ 回連続微分可能な関数といい, $ C^{n}$ 級の関数という. また何回でも微分が可能な関数を 無限回微分可能な関数といい, $ C^{\infty}$ 級の関数という.

3.45 ($ C^n$ 級関数の具体例)   多項式関数,$ \sin x$, $ e^{x}$$ C^\infty$ 級の関数である.

注意 3.46 ($ C^n$ 級関数の集合)   $ C^{n}$ 級の関数全体の集合を $ C^{n}$ と書くとする. このとき

$\displaystyle C^{0}\subset C^{1} \subset C^{2} \subset \cdots \subset C^{n}\subset \cdots \subset C^{\infty}$ (370)

が成り立つ.

3.47 ($ C^n$ 級関数の具体例)  

  $\displaystyle C^{0}\ni f_1(x)=\vert x\vert\,,$   $\displaystyle C^{1}\ni f_2(x)= \left\{ \begin{array}{cc} -x^2 & (x\geq 0)\\ x^2 & (x\leq 0) \end{array}\right.\,$   $\displaystyle C^{2}\ni f_3(x)=\vert x^3\vert$ (371)

3.48 ($ C^n$ 級関数)   次の関数はどの $ C^n$ 級に含まれるか述べよ.

  $\displaystyle (1)\quad f(x)=2x^3+3x+5$   $\displaystyle (2)\quad f(x)=\mathrm{Tan}^{-1}(x)$ (372)

Kondo Koichi
平成17年8月31日