5.7 有理式関数のマクローリン級数

5.12 (有理関数のテイラー級数)  

$\displaystyle \frac{1}{1-x}$ $\displaystyle = \sum_{n=0}^{\infty}x^{n}= 1+x+x^2+x^3+\cdots+x^n+\cdots \quad (\vert x\vert<1)$ (621)

(導出) $ f(x)=1/(1-x)$ とおく. 導関数を計算すると

$\displaystyle f(x)$ $\displaystyle =\frac{1}{1-x}\,,\quad f'(x)=\frac{1}{(1-x)^2}\,,\quad f''(x)=\frac{2\cdot1}{(1-x)^3}\,,\quad f'''(x)=\frac{3\cdot2\cdot1}{(1-x)^4}\,,\quad \cdots$ (622)

である. 一般的には

$\displaystyle f^{(n)}(x)$ $\displaystyle = \frac{n!}{(1-x)^{n+1}}\,, \qquad n=0,1,2,\cdots$ (623)

と表わされる. 点 $ x=0$ における微分係数は

$\displaystyle f^{(n)}(0)$ $\displaystyle =n!\,, \qquad n=0,1,2,\cdots$ (624)

と得られる. よってテーラー級数は

$\displaystyle f(x)$ $\displaystyle = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{f^{(n)}(0)}{n!}x^{n} = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{n!}{n!}x^{n} = \sum_{n=0}^{\infty}x^{n}$ (625)

となる. 収束半径 $ r$$ c_{n}=1$ とおくと

$\displaystyle r$ $\displaystyle = \lim_{n\to\infty} \left\vert\frac{c_{n}}{c_{n+1}}\right\vert=1$ (626)

と得られる.

Kondo Koichi
平成17年8月31日