5.14 項別積分

関数 $ f(x)=\mathrm{Tan}^{-1} x$ を考える. $ f(x)$ のテイラー級数を求める. このとき $ f^{(n)}(x)$ の計算は面倒であるので 別の方法を考える. そこで次のような項別積分を用いて テイラー級数を求める. まず $ f(x)$ の導関数は

$\displaystyle f'(x)$ $\displaystyle = \frac{1}{1+x^2}$ (716)

である. これをテイラー級数で表わす. そのためまず

$\displaystyle \frac{1}{1+x}$ $\displaystyle = 1-x+x^2-x^3+\cdots= \sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n}x^{n}$ (717)

を用意する.$ x$$ x^2$ を代入すれば

$\displaystyle f'(x)$ $\displaystyle = \frac{1}{1+x^2}= 1-x^{2}+x^{4}+\cdots= \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^{n}x^{2n}$ (718)

を得る. 両辺を不定積分をすると

$\displaystyle \mathrm{Tan}^{-1} x$ $\displaystyle = \int\left(\sum_{n=0}^{\infty} (-1)^{n}x^{2n}\right)\,dx= \sum_{n=0}^{\infty} \int(-1)^{n}x^{2n}\,dx$ (719)
  $\displaystyle = \int\,dx+ -\int x^2\,dx+ +\int x^4\,dx+ \cdots +(-1)^{n}\int x^{2n}\,dx+ \cdots$ (720)
  $\displaystyle = C+x-\frac{x^{3}}{3}+\frac{x^5}{5}+\cdots +(-1)^{n}\frac{x^{2n+1}}{2n+1}+\cdots$ (721)
  $\displaystyle = C+\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^{n}}{2n+1}x^{2n+1}$ (722)
  $\displaystyle \quad(n\to n-1)$ (723)
  $\displaystyle = C+\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n-1}}{2n-1}x^{2n-1}$ (724)

を得る. 定数項 $ C$ には不定性が残っている. これを定める. $ x=0$ を代入すると

$\displaystyle \mathrm{Tan}^{-1} 0$ $\displaystyle = C+0+0+\cdots$ (725)
$\displaystyle \to C$ $\displaystyle =\mathrm{Tan}^{-1} 0=0$ (726)

を得る. 以上より $ f(x)$ のテイラー級数として

$\displaystyle f(x)$ $\displaystyle =\mathrm{Tan}^{-1} x= \sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n-1}}{2n-1}x^{2n-1}$ (727)

が求まる.

Kondo Koichi
平成17年8月31日