関数
![$\displaystyle f(x)$](img537.png) |
![$\displaystyle =\frac{\sin x}{x}$](img1626.png) |
(789) |
の
における極限を考える.
をテイラー級数で表わしたのち関数の極限を求める.
すなわち
![$\displaystyle \lim_{x\to0}f(x)= \lim_{x\to0}\left\{\text{$f(x)$\ の $x=0$\ まわりでのテイラー級数}\right\}$](img1628.png) |
(790) |
として計算する.
まず分子である
をテイラー展開すると
![$\displaystyle \sin x$](img346.png) |
![$\displaystyle = x-\frac{x^3}{6}+\frac{x^5}{5!}+O(x^7)$](img1629.png) |
(791) |
となる.
次に分子
を分母
で割り,
のテイラー展開を求める.
すなわち
![$\displaystyle f(x)$](img537.png) |
![$\displaystyle =\frac{\sin x}{x}= \frac{x-\frac{x^3}{6}+\frac{x^5}{5!}+O(x^7)}{x}= 1-\frac{x^2}{6}+\frac{x^4}{5!}+O(x^6)$](img1630.png) |
(792) |
を得る.
もとの関数とテイラー級数で表わした関数とは等価なものである.
よって
|
![$\displaystyle \lim_{x\to0}f(x)= \lim_{x\to0}\left( 1-\frac{x^2}{6}+\frac{x^4}{5!}+O(x^6) \right)= 1-0+0+0=1$](img1631.png) |
(793) |
を得る.
関数
はもともと点
において
値が定義されていない.
しかしながら,
等価な式であるテイラー級数では,
点
は特別な点ではない.
点
は見かけの不連続点である.
ある関数に不連続点があるとき,
その不連続点が取り除けるかどうかは,
その関数をテイラー級数表示をすればよい.
問 5.47 (極限の計算)
極限
![$\displaystyle \lim_{x\to0}\frac{e^{x}-1}{x}$](img1633.png) |
(794) |
を求めよ.
例 5.48 (テイラー展開を用いた極限の計算の例)
関数
![$\displaystyle f(x)$](img537.png) |
![$\displaystyle =\sqrt{x^2-2x}-x$](img1634.png) |
(795) |
に対して極限
![$ \displaystyle{\lim_{x\to\infty}f(x)}$](img1635.png)
を考える.
このとき
![$\displaystyle \lim_{x\to\infty}f(x)= \lim_{x\to\infty} \left\{\text{$f(x)$\ の $x=\infty$\ まわりのテイラー級数}\right\}$](img1636.png) |
(796) |
として極限を求める.
しかしながら,
巾級数
![$ \sum c_{n}(x-\infty)^{n}$](img1637.png)
は存在しない.
そこで変数を
![$ y=1/x$](img1638.png)
と導入する.
すると極限は
![$\displaystyle \lim_{x\to\infty}f(x)= \lim_{y\to0}f\left(\frac{1}{y}\right)= \li...
...eft\{\text{$f\left(\frac{1}{y}\right)$\ の $y=0$\ まわりのテイラー級数}\right\}$](img1639.png) |
(797) |
と表わされる.
![$ f(1/y)$](img1640.png)
を計算すると
![$\displaystyle f\left(\frac{1}{y}\right)= \sqrt{\frac{1}{y^2}-\frac{2}{y}}-\frac{1}{y}= \frac{1}{y}\left( \sqrt{1-2y}-1 \right)$](img1641.png) |
(798) |
となる.まず
![$ \sqrt{1-2y}$](img1642.png)
をテイラー展開すると
を得る.
これを用いて
![$ f(1/y)$](img1640.png)
のテイラー展開を求めると
となる.よって極限は
![$\displaystyle \lim_{x\to\infty}f(x)$](img1650.png) |
![$\displaystyle = \lim_{y\to0}f\left(\frac{1}{y}\right)= \lim_{y\to0}\left\{ -1-\frac{1}{2}y+O(y^2) \right\}= -1+0+0=-1$](img1651.png) |
(804) |
と得られる.
Kondo Koichi
平成17年8月31日