2.15 2 変数関数 と 1 変数関数の合成関数の微分
定理 2.63 (合成関数の微分) 2 変数関数と 1 変数関数
,
との 合成関数
の導関数は
となる.また,代入も含めて正確に書くと
となる.
(証明) 関数
は全微分可能であり, 関数
,
は微分可能とする. このとき
が成り立つ.または,
と表される. ただし,とおく. このとき,
が成り立つ.の極限をとると,
,
,
より,
,
であり,
となるので,
を得る.
例 2.64 (合成関数の微分) 関数,
,
の合成関数
の導関数は,
より
となる.
例 2.65 (合成関数の微分) 関数,
,
の 合成関数の導関数は,
より
となる.
例 2.66 (合成関数の微分) 関数,
,
の合成関数の微分は,
より
となる.
例 2.67 (合成関数の微分) 関数,
の 合成関数
の
微分を考える. まず,
,
と置き換えて,
を
で微分する.
,
より
となる.を
に置き換えると
を得る.
問 2.68 (合成関数の微分) 次の合成関数の導関数を求めよ.(1)
,
,
(2)
,
,
Kondo Koichi
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平成18年1月18日