2.17 $n$ 変数関数と 1 変数関数の合成関数の微分

定理 2.72 (多変数関数の合成関数の微分)   $n$ 変数関数 $z=f(x_1,x_2,\cdots,x_n)=f(\vec{x})$ と 1 変数関数

$$x_1=\phi_1(t), \quad x_2=\phi_2(t), \quad \cdots, \quad x_n=\phi_n(t)$$

の合成関数 $z=f(\vec{x}(t))$ の微分は

$$\frac{dz}{dt}= \frac{\partial f}{\partial x_1}\frac{dx_1}{dt}+ \f... ...\frac{dx_n}{dt} = \sum_{k=1}^{n} \frac{\partial f}{\partial x_k}\frac{dx_k}{dt}$$

で与えられる．代入も含めて書くと

$$\frac{d}{dt} f(\phi_1(t),\phi_2(t),\cdots,\phi_n(t)) = f_{x_1}(\phi_1(t),\phi_2(t),\cdots,\phi_n(t))\phi'_1(t)$$

$$\quad+ f_{x_2}(\phi_1(t),\phi_2(t),\cdots,\phi_n(t))\phi'_2(t)+$$

$$\cdots+ f_{x_n}(\phi_1(t),\phi_2(t),\cdots,\phi_n(t))\phi'_n(t)$$

となる． また，ベクトル表記では

$$\frac{dz}{dt}= \nabla f\cdot\vec{x}' = \mathrm{grad}\,f\cdot\frac{d\vec{x}}{dt}$$

と表される． ここで

$$\vec{x}= \vec{x}(t)= \begin{bmatrix}x_1 \\ x_2 \\ \vdots \\ x_n \... ... \begin{bmatrix}\phi'_1(t) \\ \phi'_2(t) \\ \vdots \\ \phi'_n(t) \end{bmatrix},$$

$$\nabla f=\nabla f(\vec{x})= \mathrm{grad}\,f=\mathrm{grad}\,f(\ve... ..._{x_1}(\vec{x}) \\ f_{x_2}(\vec{x}) \\ \vdots \\ f_{x_n}(\vec{x}) \end{bmatrix}$$

とおいた．

注意 2.73 (多変数関数の合成関数の微分)   曲面 $z=f(\vec{x})$ の点 $\vec{x}$ における 法線ベクトルは $\nabla f(\vec{x}(t))$ である（接平面の節を参照）． $\vec{x}(t)$ の軌跡は $(x_1,\cdots,x_n)$ 空間内の曲線である． この曲線の接ベクトルは $\vec{x}'(t)$ である．

Kondo Koichi
平成18年1月18日