3.5 積分の順番の入れ替え

3.31 (積分の順番の入れ替え)   領域 $ D$$ x$$ y$ の両方に関して単純な領域であり,

$\displaystyle D=\left\{\left.\,{(x,y)}\,\,\right\vert\,\,{0\leq x\leq1,\,\, 0\l...
...\{\left.\,{(x,y)}\,\,\right\vert\,\,{0\leq y\leq1,\,\, 0\leq x\leq y}\,\right\}$    

で与えられるとする.このとき,多重積分は

$\displaystyle I=\iint_{D}f(x,y)\,dxdy= \int_{0}^{1}dx\int_{0}^{x}dy\,f(x,y)= \int_{0}^{1}dy\int_{y}^{1}dx\,f(x,y)$    

と書ける.
\includegraphics[width=0.4\textwidth]{sekibun-D1.eps}

3.32 (積分の順番の入れ替え)   領域 $ D$$ x$$ y$ の両方に関して単純な領域であり,

$\displaystyle D=\left\{\left.\,{(x,y)}\,\,\right\vert\,\,{0\leq x\leq1,\,\, x^2...
....\,{(x,y)}\,\,\right\vert\,\,{0\leq y\leq1,\,\, y\leq x\leq \sqrt{y}}\,\right\}$    

で与えられるとする.このとき,多重積分は

$\displaystyle I=\iint_{D}f(x,y)\,dxdy= \int_{0}^{1}dx\int_{x^2}^{x}dy\,f(x,y)= \int_{0}^{1}dy\int_{y}^{\sqrt{y}}dx\,f(x,y)$    

と書ける.
\includegraphics[width=0.4\textwidth]{sekibun-D5.eps}

3.33 (積分の順番の入れ替え)   領域

$\displaystyle D=\left\{\left.\,{(x,y)}\,\,\right\vert\,\,{0\leq y\leq 4,\,\, y-2\leq x\leq\sqrt{y}}\,\right\}$    

$ y$ に関して単純な領域である. $ x$ に関して単純な領域に書き換えると

  $\displaystyle D=D_1+D_2,$    
  $\displaystyle D_1=\left\{\left.\,{(x,y)}\,\,\right\vert\,\,{-2\leq x\leq 0,\,\, 0\leq y\leq x+2}\,\right\},$    
  $\displaystyle D_2=\left\{\left.\,{(x,y)}\,\,\right\vert\,\,{0\leq x\leq 2,\,\, x^2\leq y\leq x+2}\,\right\}$    

となる. このとき

$\displaystyle \int_{0}^{4}dy\int_{y-2}^{\sqrt{y}}f(x,y)\,dx= \int_{-2}^{0}dx\int_{0}^{x+2}f(x,y)\,dy+ \int_{0}^{2}dx\int_{x^2}^{x+2}f(x,y)\,dy$    

が成り立つ.
\includegraphics[width=0.4\textwidth]{sekibun-D6.eps} \includegraphics[width=0.4\textwidth]{sekibun-D6x.eps}
(a) $ y$ に関して単純な領域 (b) $ x$ に関して単純な領域

Kondo Koichi
平成18年1月18日