3.14 有向曲線

定義 3.64 (有向曲線)   向き付きの曲線

$$C=\left\{\left.\,{(x,y)}\,\,\right\vert\,\,{x=\varphi(t),y=\psi(t),\,t:a\to b}\,\right\}$$

を有向曲線（oriented curve）という．

注意 3.65 (有向曲線)   始点と終点が同じであり，有向曲線が一周してもよい．

(a) 有向曲線	(b) 始点と終点が同じ有向曲線

例 3.66 (有向曲線)   始点 $(1,1)$ から終点 $(2,3)$ まで 直線的に進む有向曲線は，

$$C=\left\{\left.\,{(x,y)}\,\,\right\vert\,\,{x=t+1,\,\,y=2t+1,\,\,t:0\to 1}\,\right\}$$

と書ける．

例 3.67 (有向曲線)   単位円上を始点を $(1,0)$ で反時計回りに一周するとき， $x$, $y$ をパラメータ表示すると

$$x=\cos t,\qquad y=\sin t,\qquad t:0\to 2\pi$$

となる． この有向曲線は

$$C=\left\{\left.\,{(x,y)}\,\,\right\vert\,\,{x=\cos t,\,\,y=\sin t,\,\,t:0\to2\pi}\,\right\}$$

と書ける． 時計回りに一周するときは， 有向曲線は

$$C=\left\{\left.\,{(x,y)}\,\,\right\vert\,\,{x=\cos t,\,\,y=\sin t,\,\,t:2\pi\to0}\,\right\}$$

と書ける．

定義 3.68 (有向曲線)   $a<c<b$ において，

$$C=\left\{\left.\,{(x,y)}\,\,\right\vert\,\,{x=\varphi(t),\,\,y=\psi(t),\,\,t:a\to b}\,\right\},$$

$$C_1=\left\{\left.\,{(x,y)}\,\,\right\vert\,\,{x=\varphi(t),\,\,y=\psi(t),\,\,t:a\to c}\,\right\},$$

$$C_2=\left\{\left.\,{(x,y)}\,\,\right\vert\,\,{x=\varphi(t),\,\,y=\psi(t),\,\,t:c\to b}\,\right\}$$

であるとき，

$$C=C_1+C_2$$

と表記する．

定義 3.69 (有向曲線)   有向曲線

$$C=\left\{\left.\,{(x,y)}\,\,\right\vert\,\,{x=\varphi(t),\,\,y=\psi(t),\,\,t:a\to b}\,\right\},$$

$$\tilde{C}=\left\{\left.\,{(x,y)}\,\,\right\vert\,\,{x=\varphi(t),\,\,y=\psi(t),\,\,t:b\to a}\,\right\}$$

に対して，

$$\tilde{C}=-C$$

と表記する．

Kondo Koichi
平成18年1月18日