3.15 線積分

定義 3.70 (線積分)   関数 $\vec{f}(\vec{x})=\begin{bmatrix}f(x,y) \\ g(x,y) \end{bmatrix}$ に対する有向曲線

$$C=\left\{\left.\,{(x,y)}\,\,\right\vert\,\,{x=\varphi(t),\,\,y=\psi(t),\,\,t:a\to b}\,\right\}$$

に関する線積分（line integral）を

$$\int_C\vec{f}(\vec{x})\cdot\,d\vec{x}= \int_Cf(x,y)\,dx+g(x,y)\,dy$$

$$= \int_{a}^{b} \left(f(x,y)\frac{dx}{dt}+g(x,y)\frac{dy}{dt}\right)dt$$

$$= \int_{a}^{b} \left(f(\varphi(t),\psi(t))\varphi'(t)+ g(\varphi(t),\psi(t))\psi'(t)\right)dt$$

と定義する． 曲線 $C$ を積分路（integral path）という．

注意 3.71 (線積分)   線積分は力学の仕事（work）である． typing...

定理 3.72 (線積分)   次の関係が成り立つ：

(i)     $${\int_{C_1+C_2}\vec{f}(\vec{x})\cdot d\vec{x}= \int_{C_1}\vec{f}(\vec{x})\cdot d\vec{x}+ \int_{C_2}\vec{f}(\vec{x})\cdot d\vec{x}}$$      (ii)     $${\int_{-C}\vec{f}(\vec{x})\cdot d\vec{x}= -\int_{C}\vec{f}(\vec{x})\cdot d\vec{x}}$$

例 3.73 (線積分)   線積分

$$I= \int_{C}(x+y)\,dx+xy\,dy, \qquad C=\left\{\left.\,{(x,y)}\,\,\right\vert\,\,{x=t,\,\,y=t^2,\,\,t:0\to a}\,\right\}$$

を求める． $${\frac{dx}{dt}=1}$$, $${\frac{dy}{dt}=2t}$$ を用いて，線積分は

$$I = \int_{0}^{a}\left((t+t^2)\frac{dx}{dt}+t\cdot t^2\frac{dy}{dt}\... ...3}+\frac{2t^5}{5}}\,\right]_{0}^{a}= \frac{a^2}{2}+\frac{a^3}{3}+\frac{2a^5}{5}$$

と求まる．

Kondo Koichi
平成18年1月18日