3.18 経路に依存しない線積分

定理 3.83 (グリーンの定理の使用例)   $ \vec{f}(\vec{x})$$ D$ で連続でかつ $ g_x=f_y$ のとき,

$\displaystyle \oint_{\partial D}\vec{f}(\vec{x})\cdot\,d\vec{x}= \iint_{D}(g_x-f_y)dxdy=0$    

が成り立つ.

3.84 (グリーンの定理の使用例)   任意の周回積分路 $ C$ に対して,

$\displaystyle I$ $\displaystyle =\oint_{C}xy^2\,dx+x^2y\,dy=0$    
$\displaystyle I$ $\displaystyle =\oint_{C}\sin(x^2+3x+e^{x^2})\,dx+(y+y^5)e^{y^2-y}\,dy=0$    

が成り立つ.

注意 3.85 (経路によらない線積分)   任意の周回積分路 $ C$ に対して,

$\displaystyle I$ $\displaystyle =\oint_{C}f(x,y)\,dx+g(x,y)\,dy=0$    

のとき, 点 $ P$ から点 $ Q$ への任意の積分路 $ C_1$ に対する線積分は 一定となる. なぜなら,2 つの異なる点 $ P$ から点 $ Q$ への積分路を $ C_1$, $ C_2$ とする. このとき $ C_1-C_2=C$ は周回する積分路となる. よって

$\displaystyle I$ $\displaystyle = \oint_{C}\vec{f}(\vec{x})\,\cdot d\vec{x}= \oint_{C_1-C_2}\!\!\...
...vec{f}(\vec{x})\,\cdot d\vec{x}- \oint_{C_2}\vec{f}(\vec{x})\,\cdot d\vec{x} =0$    

より,

$\displaystyle \oint_{C_1}\vec{f}(\vec{x})\,\cdot d\vec{x}= \oint_{C_2}\vec{f}(\vec{x})\,\cdot d\vec{x}= \oint_{P}^{Q}\vec{f}(\vec{x})\,\cdot d\vec{x}$    

を得る.

3.86 (経路に依存しない線積分)   任意の周回積分路に関して,

$\displaystyle \oint_{C}xy^2\,dx+x^2y\,dy=0$    

が成り立つ. よって,任意の点 $ P$, $ Q$ に対して 線積分

$\displaystyle I=\int_{P}^{Q}xy^2\,dx+x^2y\,dy$    

は積分の経路に依存しない. 例えば $ P(1,0)$, $ Q(2,1)$ とする. $ P$ から $ Q$ を直線的に進む経路を

$\displaystyle C_{1}=\left\{\left.\,{(x,y)}\,\,\right\vert\,\,{x=t+1,\,\, y=t,\,\, t:0\to1}\,\right\}$    

とする.このとき線積分は

$\displaystyle I$ $\displaystyle =\int_{C_1}xy^2\,dx+x^2y\,dy= \int_{0}^{1}((t+1)t^2+(t+1)^2t)dt= \int_{0}^{1}(2t^3+3t^2+t)dt$    
  $\displaystyle = \left[\vrule height1.5em width0em depth0.1em\,{\frac{t^4}{2}+t^3+\frac{t^2}{2}}\,\right]_0^1=2$    

となる. また,$ P$ から点 $ (2,0)$ を経由し $ Q$ へ進む経路を

  $\displaystyle C_{2}=C_{21}+C_{22},$    
  $\displaystyle C_{21}=\left\{\left.\,{(x,y)}\,\,\right\vert\,\,{x=t+1,\,\, y=0,\,\, t:0\to1}\,\right\},$    
  $\displaystyle C_{22}=\left\{\left.\,{(x,y)}\,\,\right\vert\,\,{x=2,\,\, y=t,\,\, t:0\to1}\,\right\}$    

とする.このとき線積分は

$\displaystyle I$ $\displaystyle =\int_{C_2}xy^2\,dx+x^2y\,dy= \int_{0}^{1}(0+0)dt+ \int_{0}^{1}(0...
...{1}4t\,dt = \left[\vrule height1.5em width0em depth0.1em\,{2t^2}\,\right]_0^1=2$    

となる. 異なる積分路 $ C_1$, $ C_2$ に対して積分の値は等しい. 他の経路に対しても同じ値をもつので,

$\displaystyle I$ $\displaystyle =\int_{(1,0)}^{(2,1)}xy^2\,dx+x^2y\,dy=2$    

と書ける.

Kondo Koichi
平成18年1月18日