3.17 線積分と多重積分

注意 3.77 (周回積分)   積分路 $C$ が一周しているとき， 線積分 $${\int_{C}\vec{f}(\vec{x})\cdot\,d\vec{x}}$$ を

$$\oint_{C}\vec{f}(\vec{x})\cdot\,d\vec{x}$$

と表記することがある． これを周回積分とも呼ぶ．

定義 3.78 (領域の境界)   領域 $D$の境界を $\partial D$ と表記する． このとき内部が進行方向の左手になるように向きを定める． （注意）ここで $\partial$ は偏微分の記号とは全く関係ない． 単に記号の形が「ぐるっとまわる」の見えるため．

(a) 領域 $D$ と境界 $\partial D$	(b) 穴のあいた領域 $D$

定理 3.79 (グリーンの定理)   領域 $D$ 内で関数 $\vec{f}(\vec{x})$ が連続なとき，

$$\oint_{\partial D}\vec{f}(\vec{x})\cdot\,d\vec{x}= \oint_{\partia... ...rac{\partial g(x,y)}{\partial x}- \frac{\partial f(x,y)}{\partial y}\right)dxdy$$

が成り立つ．

注意 3.80 (グリーンの定理)   グリーンの定理は線積分と多重積分の移り合いを表す．

例 3.81 (グリーンの定理の使用例)   $C$ を半径 $a$ の円上を 1 周する有向曲線

$$C=\left\{\left.\,{(x,y)}\,\,\right\vert\,\,{x=a\cos t,\,\, y=a\sin t,\,\, t:0\to2\pi}\,\right\}$$

とする． このとき $C$ の内部の領域は

$$D=\left\{\left.\,{(x,y)}\,\,\right\vert\,\,{x^2+y^2\leq a^2}\,\right\}$$

である． 領域 $D$ において関数 $f(x,y)=y$, $g(x,y)=-x$ は連続であるから， 線積分

$$I=\oint_Cy\,dx-x\,dy$$

はグリーンの定理が適用でき，

$$I = \iint_{D}(g_x-f_y)dxdy= \iint_{D}(-1-1)dxdy= -2\iint_{D}dxdy= -2\int_{0}^{a}r\,dr\int_{0}^{2\pi}d\theta= -2\pi a^2$$

と計算される．

例 3.82 (グリーンの定理が使用不可な例)   線積分

$$I=\oint_{C}\frac{-y}{x^2+y^2}dx+\frac{x}{x^2+y^2}dy, \quad C=\lef... ....\,{(x,y)}\,\,\right\vert\,\,{x=\cos t,\,\, y=\sin t,\,\, t:0\to2\pi}\,\right\}$$

を考える． $C$ は単位円上を 1 周する有向曲線であり， $C$ の内部の領域は

$$D=\left\{\left.\,{(x,y)}\,\,\right\vert\,\,{x^2+y^2\leq 1}\,\right\}$$

である． 関数

$$f(x,y)=\frac{-y}{x^2+y^2}, \quad g(x,y)=\frac{x}{x^2+y^2}$$

は原点で連続ではないので， 領域 $D$ のすべての点において 関数 $f$, $g$ は連続ではないからグリーンの定理は適用できない．

誤りではあるが， グリーンの定理を適用して計算すると，

$$f_y=\frac{-x^2+y^2}{(x^2+y^2)^2}, \qquad g_x=\frac{-x^2+y^2}{(x^2+y^2)^2}, \qquad g_x-f_y=0$$

より，

$$I =\oint_{C}\frac{-y}{x^2+y^2}dx+\frac{x}{x^2+y^2}dy= \iint_{D}(g_x-f_y)dxdy= \iint_{D}0\,dxdy=0$$

となる． 正しくは，

$$I =\oint_{C}\frac{-y}{x^2+y^2}dx+\frac{x}{x^2+y^2}dy= \int_0^{2\pi}... ...sin t}{\cos^2t+\sin^2t}(-\sin t)+ \frac{\cos t}{\cos^2t+\sin^2t}\cos t\right)dt$$

$$= \int_0^{2\pi}dt=2\pi$$

と得られる．

Kondo Koichi
平成18年1月18日