1.13 内積と面積

注意 1.65 (ベクトルの内積の図説)   ベクトル $ \vec{a}$$ \vec{b}$ の成す角を $ \theta$ とするとき

$\displaystyle \vec{a}\cdot\vec{b}= \Vert\vec{a}\Vert\Vert\vec{b}\Vert\cos\theta= (\Vert\vec{a}\Vert\cos\theta)(\Vert\vec{b}\Vert)$ (97)

が成り立つ. すなわち,辺の長さが $ \Vert\vec{a}\Vert\cos\theta$ $ \Vert\vec{b}\Vert$ の長方形の面積を表す. 角度 $ \theta$ の値により面積は変化する. $ \vec{a}$$ \vec{b}$ とが 同じ向きのとき,すなわち $ \theta=0$ のときは, 面積は最大値をとり $ \vec{a}\cdot\vec{b}=\Vert\vec{a}\Vert\Vert\vec{b}\Vert$ で与えられる. $ \vec{a}$$ \vec{b}$ とが直交し $ \theta=\pi/2$ のときは, 面積は最小値をとり $ \vec{a}\cdot\vec{b}=0$ で与えられる.

定理 1.66 (平行四辺形の面積)   $ \mathbb{R}^2$ 内の点 $ O$, $ A(\vec{a})$, $ B(\vec{b})$, $ D(\vec{a}+\vec{b})$ を考える. このとき平行四辺形 $ OADB$ の面積は

$\displaystyle S= \mathrm{abs}\left( \begin{vmatrix}a_{1} & b_{1} \\ a_{2} & b_{...
..._{2} \end{bmatrix}\,,\quad \vec{b}= \begin{bmatrix}b_{1} \\ b_{2} \end{bmatrix}$ (98)

で与えられる.ただし $ \mathrm{abs}(x)=\vert x\vert$ とする.

1.67 (平行四辺形の面積)   これを証明せよ.

(証明その1) 角度 $ \theta=\angle AOB$ とする. 平行四辺形の面積は底辺の長さ $ \Vert\vec{a}\Vert$ と 高さ $ \Vert\vec{b}\Vert\sin\theta$ を掛けたものであるので, これを計算すると

$\displaystyle S$ $\displaystyle =\Vert\vec{a}\Vert\left(\Vert\vec{b}\Vert\sin\theta\right)= \Vert...
...\vec{b}\Vert\sin\theta= \Vert\vec{a}\Vert\Vert\vec{b}\Vert\sqrt{1-\cos^2\theta}$ (99)
  $\displaystyle = \sqrt{\Vert\vec{a}\Vert^2\Vert\vec{b}\Vert^2- \left(\Vert\vec{a...
...2}= \sqrt{ (\vec{a}\cdot\vec{a})(\vec{b}\cdot\vec{b})- (\vec{a}\cdot\vec{b})^2}$ (100)
  $\displaystyle = \sqrt{ (a_{1}{}^2+a_{2}{}^2)(b_{1}{}^2+b_{2}{}^2)- (a_{1}b_{1}+...
...b_{2})^2}= \sqrt{ a_{1}{}^2b_{2}{}^2-2a_{1}a_{2}b_{1}b_{2}+ a_{2}{}^2b_{1}{}^2}$ (101)
  $\displaystyle = \sqrt{ (a_{1}b_{2}-a_{2}b_{1})^2 }= \left\vert a_{1}b_{2}-a_{2}b_{1}\right\vert$ (102)

を得る.

(証明その2) $ \mathbb{R}^3$ のベクトル

$\displaystyle \vec{a}= \begin{bmatrix}a_{1} \\ a_{2} \\ 0 \end{bmatrix}, \qquad...
... \\ 0 \end{bmatrix}, \qquad \vec{a}= \begin{bmatrix}0 \\ 0 \\ c_3 \end{bmatrix}$ (103)

$\displaystyle \vec{c}=\vec{a}\times\vec{b}$ (104)

を満すとする. このとき

$\displaystyle c_3= \begin{vmatrix}a_{1} & b_{1}\\ a_{2} & b_{2} \end{vmatrix}$ (105)

が成り立つ. $ \Vert\vec{c}\Vert=\vert c_{3}\vert$ はベクトル $ \vec{a}$, $ \vec{b}$ が なす平行四辺形の面積に等しい.

Kondo Koichi
平成17年9月15日