1.18 スカラー三重積

定義 1.84 (スカラー三重積)   スカラー三重積(scalar triple vector)

$\displaystyle [\vec{a},\vec{b},\vec{c}]= (\vec{a}\times\vec{b})\cdot\vec{c}= \vec{a}\cdot(\vec{b}\times\vec{c})= (\vec{c}\times\vec{a})\cdot\vec{b}$ (125)

と定義する.

定理 1.85 (スカラー三重積の値)  

$\displaystyle [\vec{a},\vec{b},\vec{c}]= \begin{vmatrix}a_{1} & a_{2} & a_{3} \\ b_{1} & b_{2} & b_{3} \\ c_{1} & c_{2} & c_{3} \end{vmatrix}$ (126)

1.86 (スカラー三重積の値)   これを示せ.

(証明)

$\displaystyle (\vec{a}\times\vec{b})\cdot\vec{c}= \begin{vmatrix}a_{2} & a_{3} ...
..._{2} & a_{3} \\ b_{1} & b_{2} & b_{3} \\ c_{1} & c_{2} & c_{3} \end{vmatrix}\,.$ (127)

1.87 (スカラー三重積と体積)   頂点が $ O$, $ A(\vec{a})$, $ B(\vec{b})$, $ C(\vec{c})$, $ D(\vec{a}+\vec{b})$, $ E(\vec{a}+\vec{c})$, $ F(\vec{b}+\vec{c})$, $ G(\vec{a}+\vec{b}+\vec{c})$ である並行 6 面体の体積は $ V=\left\vert[\vec{a},\vec{b},\vec{c}]\right\vert$ である. これを示せ.


(答え)     平行 6 面体の体積は, 底面積を $ S$ とし, 高さを $ h$ とすると, $ V=Sh$ で与えれる. 底面の平行四辺形 $ OABD$ の面積は, $ S=\Vert\vec{a}\times\vec{b}\Vert$ である. また,底面に対する単位法線ベクトルは $ \vec{n}=(\vec{a}\times\vec{b})/\Vert\vec{a}\times\vec{b}\Vert$ である. ベクトル $ \vec{c}$ を垂線に射影してできるベクトルの長さが 高さ $ h$ であるから, $ h=\vert\vec{n}\cdot\vec{c}\vert=
\vert(\vec{a}\times\vec{b})\cdot\vec{c}\vert/\Vert\vec{a}\times\vec{b}\Vert$ となる. よって体積は $ V=\vert(\vec{a}\times\vec{b})\cdot\vec{c}\vert$ と求まる.

定理 1.88 (外積の性質)    
(i)
$ (\vec{a}\times\vec{b})\times(\vec{c}\times\vec{d})=
[\vec{a},\vec{b},\vec{d}]\vec{c}-
[\vec{a},\vec{b},\vec{c}]\vec{d}$

1.89 (外積の性質)   これを示せ.

Kondo Koichi
平成17年9月15日