1.29 平面と平面の交線

注意 1.128 (平面と平面の交線)   2つの平面

$$a_1x+b_1y+c_1z=1,$$ (223)

$$a_2x+b_2y+c_2z=1$$ (224)

の交点の集合は直線

$$\frac{x-x_0}{a}=\frac{y-y_0}{b}=\frac{z-z_0}{c}$$ (225)

となる． ただし， 交線をもつのは 法線ベクトル ${[a_1,\,\,b_1,\,\,c_1]}^{T}$ と ${[a_1,\,\,b_1,\,\,c_1]}^{T}$ とが同じ向きではないときに限られる．

例 1.129 (平面と平面の交線)   二つの平面

$$x-y-z=-1,\qquad 2x+y+4z=1$$ (226)

の交線を求める． 第一式を $-2$ 倍し第二式の加えると

$$x-y-z=-1,\qquad 3y+6z=3$$ (227)

となる． 第二式を $3$ で割ると

$$x-y-z=-1,\qquad y+2z=1$$ (228)

となる． 第二式を第一式に加えると

$$x+z=0,\qquad y+2z=1$$ (229)

となる．$z=t$ とおくと

$$\begin{bmatrix}x \\ y \\ z \end{bmatrix} = \begin{bmatrix}-t \\ -... ...{bmatrix}-1 \\ -2 \\ 1 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix}0 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix}$$ (230)

を得る． 交線は点 $(0,1,0)$ を通る 方向ベクトル ${[-1\,\,-2\,\,1]}^{T}$ の直線である．

Kondo Koichi
平成17年9月15日