1.30 点の平面への射影
定義 1.130 (点の平面への射影) 空間内の点 と平面を考える. 点 から平面へ垂線を下ろしたときの足を とする. 点 から点 への変換を 射影(projection???)という.
注意 1.131 (点の平面への射影) 点 から平面
(231)
への射影点 を考える. 点 から平面への垂線は平面と直交する. よって垂線の方向ベクトルと平面の法線ベクトル は等しい. 垂線は点 を通り 方向ベクトルが であるので, 垂線の方程式は
(232)
と表される. 垂線と平面の交点が射影点 である. 交点 を求める. 垂線の方程式を平面の方程式に代入すると
(233)
であり, についてまとめると
(234)
が成り立つ. これを垂線の方程式に代入し,交点
(235)
を得る.
例 1.132 (点の平面への射影) 点 の平面 への射影点 を考える. 平面の法線ベクトルは であるから, 点 を通り平面に垂直な直線の方程式は
(236)
となる. パラメータ表示すると
(237)
である. これを平面の方程式に代入すると
(238)
より を得る. これを垂線の方程式に代入すると
(239)
であり,射影点 を得る.
Kondo Koichi
平成17年9月15日