3.5 行列の簡約化

定義 3.20 (階段行列)   行列が

$\displaystyle \left[\begin{array}{cccccccc} \!1\! & ** & \!0\! & ** & \!0\! & *...
... \\ \vdots& & & & & & &\vdots\\ 0 &\cdots& & & & &\cdots & 0 \end{array}\right]$ (428)

という形をしているとき, この行列を簡約な行列または 階段行列と呼ぶ. また, 各行の一番左の 0 ではない成分を主成分と呼ぶ.

3.21 (簡約な行列の具体例)   次の行列は簡約な行列である:

  $\displaystyle \begin{bmatrix}0 & 1 & 3 & 0 & 2 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & ...
...& 2 & 3 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}\,,\quad$ (429)
  $\displaystyle \begin{bmatrix}0 & 0 & 0 & 1 & 6 & 0 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0...
... & 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}\,.$ (430)

定義 3.22 (簡約化)   行列 $ A$ に基本変形を繰り返し, 簡約な行列 $ B$ を得ることを簡約化と呼ぶ.

3.23 (簡約化の計算例)   簡約化の具体的な計算例を示す:
(1)

$\displaystyle A$ $\displaystyle = \begin{bmatrix}0 & 2 & 1 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}$ (431)
     (第一行目を $ 1/2$ 倍する.) (432)
  $\displaystyle \rightarrow \begin{bmatrix}0 & 1 & 1/2 & 0 & 1/2 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}=B$ (433)

(2)

$\displaystyle A$ $\displaystyle = \begin{bmatrix}0 & 1 & 0 & 1/3 & 1/2 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 1/3 & 2/3 \end{bmatrix}$ (434)
     (第二行目と第三行目を入れ替える.) (435)
  $\displaystyle \rightarrow \begin{bmatrix}0 & 1 & 0 & 1/3 & 1/2 \\ 0 & 0 & 1 & 1/3 & 2/3 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}=B$ (436)

(3)

$\displaystyle A$ $\displaystyle = \begin{bmatrix}1 & 1 & 3 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 1 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$ (437)
     (第二行目を $ -3$ 倍し第一行目に加える.) (438)
  $\displaystyle \rightarrow \begin{bmatrix}1 & 1 & 0 & -5 & 2 \\ 0 & 0 & 1 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$ (439)
     (第三行目を $ -2$ 倍し第一行目に加える.) (440)
  $\displaystyle \rightarrow \begin{bmatrix}1 & 1 & 0 & -5 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}=B$ (441)

(4)

$\displaystyle A$ $\displaystyle = \begin{bmatrix}0 & 0 & 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & -2 \\ 1 & 3 & 0 & 0 & 2 \end{bmatrix}$ (442)
     (第一行目を第三行目を入れ替える.) (443)
  $\displaystyle \rightarrow \begin{bmatrix}1 & 3 & 0 & 0 & 2 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & -2 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 1 \end{bmatrix}=B$ (444)

定理 3.24 (簡約化の一意性)   任意の行列は基本変形により一意に簡約化できる.

Kondo Koichi
平成17年9月15日