5.12 演習問題～固有値

問 5.31 (固有値) 次の行列の固有値とその固有値に属する固有ベクトルを求めよ．

(1) $\displaystyle{ \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}}$ (2) $\displaystyle{ \begin{bmatrix} 2 & 0 \\ 0 & -5 \end{bmatrix}}$ (3) $\displaystyle{ \begin{bmatrix} \alpha & 0 \\ 0 & \beta \end{bmatrix}}$ (4) $\displaystyle{ \begin{bmatrix} 2 & 1 \\ 3 & -5 \end{bmatrix}}$ (5) $\displaystyle{ \begin{bmatrix} 1 & -3 \\ 1 & 1 \end{bmatrix}}$

(6) $\displaystyle{ \begin{bmatrix} 1 & 4 \\ 2 & 3 \end{bmatrix}}$ (7) $\displaystyle{ \begin{bmatrix} \cos\theta & -\sin\theta \\ \sin\theta & \cos\theta \end{bmatrix}}$ (8) $\displaystyle{ \begin{bmatrix} 2 & 2 & 1 \\ 1 & 3 & 1 \\ 1 & 2 & 2 \end{bmatrix}}$ (9) $\displaystyle{ \begin{bmatrix} 1 & 1 & -2 \\ -1 & 2 & 1 \\ 0 & 1 & -1 \end{bmatrix}}$

(10) $\displaystyle{ \begin{bmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 1 & -3 & 3 \end{bmatrix}}$ (11) $\displaystyle{ \begin{bmatrix} 1 & -1 & -1 \\ 1 & -1 & 0 \\ 1 & 0 & -1 \end{bmatrix}}$ (12) $\displaystyle{ \begin{bmatrix} 1 & 0 & -1 \\ 0 & 1 & -1 \\ -1 & -1 & 2 \end{bmatrix}}$ (13) $\displaystyle{ \begin{bmatrix} 3 & 2 & 2 & -4 \\ 2 & 3 & 2 & -1 \\ 1 & 1 & 2 & -1 \\ 2 & 2 & 2 & -1 \end{bmatrix}}$

問 5.32 (固有空間) 次の線形変換の固有値とその固有空間を求めよ．また，固有ベクトルを基底として選べるとき，この基底に関する線形変換の表現行列を求めよ．さらには，ベクトル空間が固有空間で直和分解されることを示せ．

(1) $f:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^2$ ; 点 $\vec{x}$ と原点 $\vec{0}$ と $\vec{x}$ との中点 $\vec{y}$ への変換 $\vec{x}\mapsto\vec{y}$ . (2) $f:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^2$ ; 点 $\vec{x}$ から原点 $\vec{0}$ を通り方向ベクトルが $\vec{p}=\begin{bmatrix}2 \\ 1 \end{bmatrix}$ の直線への正射影と $\vec{x}$ との中点 $\vec{y}$ への変換 $\vec{x}\mapsto\vec{y}$ .

(3) $f:\mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^3$ ; 点 $\vec{x}$ から平面への正射影 $\vec{y}$ への射影変換 $\vec{x}\mapsto\vec{y}$ .

(4) $\displaystyle{ f:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^2;\,\, f(\vec{x})= \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 2 \end{bmatrix}\vec{x} }$ (5) $\displaystyle{ f:\mathbb{C}^2\to\mathbb{C}^2;\,\, f(\vec{x})= \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{bmatrix}\vec{x} }$

(6) $\displaystyle{ f:\mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^3;\,\, f(\vec{x})= \begin{bmatrix} -3 & -9 & -12 \\ 1 & 3 & 4 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}\vec{x} }$ (7) $\displaystyle{ f:\mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^3;\,\, f(\vec{x})= \begin{bmatrix} 2 & 2 & 0 \\ 2 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}\vec{x} }$

(8) $\displaystyle{ f:\mathbb{R}^4\to\mathbb{R}^4;\,\, f(\vec{x})= \begin{bmatrix} ... ... 1 & -2 & -3 & 0 \\ -1 & 1 & 0 & 1 \\ -1 & -1 & -5 & 3 \end{bmatrix}\vec{x} }$ (9) $\displaystyle{ F:\mathbb{R}[x]_{2}\to\mathbb{R}[x]_{2};\,\, F(f)(x)=\int_0^{x}f(y)\,dy }$

(10) $\displaystyle{ F:\mathbb{R}[x]_{2}\to\mathbb{R}[x]_{2};\,\, F(f)(x)=f'(x) }$ (11) $\displaystyle{ F:\mathbb{R}[x]_{2}\to\mathbb{R}[x]_{2};\,\, F(f)(x)=f''(x) }$

(12) $\displaystyle{ F:\mathbb{R}[x]_{1}\to\mathbb{R}[x]_{1};\,\, F(f)(x)=f(1-x) }$ (13) $\displaystyle{ F:\mathbb{R}[x]_{1}\to\mathbb{R}[x]_{1};\,\, F(f)(x)=f(2)+f(1)x }$

(14) $\displaystyle{ F:\mathbb{R}[x]_{2}\to\mathbb{R}[x]_{2};\,\, F(f)(x)=f(0)+xf'(x)+x^2f''(x) }$

(15) $\displaystyle{ F:\mathbb{R}[x]_{2}\to\mathbb{R}[x]_{2};\,\, F(f)(x)=f(1-x)+f'(2-x)+f''(3-x) }$

(16) $\displaystyle{ F:\mathbb{R}[x]_{3}\to\mathbb{R}[x]_{3};\,\, F(f)(x)=f(x)+f'(1)(1+x)+f''(x)+f'''(2)(x+x^3) }$

5.12 演習問題 ～ 固有値

5.12 演習問題～固有値