5.13 相似変換

定理 5.33 (相似変換)   行列 $ A$ と行列 $ B=P^{-1}AP$ との固有値は等しい. ただし $ P$ はある正則行列とする.


(証明)    

$\displaystyle g_B(t)$ $\displaystyle = \det(tE-B)= \det(tE-P^{-1}AP)= \det(tP^{-1}EP-P^{-1}AP)= \det(P^{-1}(tE-A)P)$    
  $\displaystyle = \det(P^{-1})\det(tE-A)\det(P)= \det(P^{-1})\det(P)\det(tE-A)$    
  $\displaystyle = \frac{1}{\det(P)}\det(P)\det(tE-A)= \det(tE-A)= g_A(t)$    

となるので $ B$$ A$ の固有値は等しい.

定義 5.34 (相似)   正方行列 $ A$, $ B$ に対して $ B=P^{-1}AP$ をみたすある正則行列 $ P$ が存在するとき, $ A$$ B$ とは相似(similar)または 同値(equivalent)であるという.

定義 5.35 (相似変換)   正方行列 $ A$ がある正則行列 $ P$ を用いて, 正方行列

$\displaystyle B=P^{-1}AP$    

へ変換されるとき, この変換 $ A\mapsto B$相似変換(similarity transformation)または 同値変換(equivalent transformation)という.



Kondo Koichi
平成18年1月17日