5.15 2 次正方行列の対角化

例 5.42 (対角化の具体例)   行列

$$A= \begin{bmatrix}8 & -10 \\ 5 & -7 \end{bmatrix}$$

を対角化する．

まず，行列 $A$ の固有多項式は

$$g_A(t)=\det(tE-A)= \begin{vmatrix}t-8 & 10 \\ -5 & t+7 \end{vmatrix} = (t+2)(t-3)$$

となるので， $g_A(\lambda)=0$ より $A$ の固有値は $\lambda_1=-2$, $\lambda_2=3$ である． $\lambda=\lambda_1=-2$ のとき

$$-2E-A= \begin{bmatrix}-10 & 10 \\ -5 & 5 \end{bmatrix} \quad\xrightarrow{\text{簡約化}}\quad \begin{bmatrix}1 & -1 \\ 0 & 0 \end{bmatrix}$$

より， $(-2E-A)\vec{x}=\vec{0}$ を解いて 固有ベクトルは

$$\vec{x}= c \begin{bmatrix}1 \\ 1 \end{bmatrix} = c\,\vec{p}_1 \qquad(c\neq 0)$$

である． $\lambda=\lambda_2=3$ のとき

$$3E-A= \begin{bmatrix}-5 & 10 \\ -5 & 10 \end{bmatrix} \quad\xrightarrow{\text{簡約化}}\quad \begin{bmatrix}1 & -2 \\ 0 & 0 \end{bmatrix}$$

より， $(3E-A)\vec{x}=\vec{0}$ を解いて 固有ベクトルは

$$\vec{x}= c \begin{bmatrix}2 \\ 1 \end{bmatrix} = c\,\vec{p}_2 \qquad(c\neq 0)$$

である．

行列 $A$ を対角化する． $\lambda_1$ の固有ベクトルのひとつとして $\vec{p}_1$ を選び， $\lambda_2$ の固有ベクトルのひとつとして $\vec{p}_2$ を選ぶ． このとき

$$D= \begin{bmatrix}\lambda_1 & 0 \\ 0 & \lambda_2 \end{bmatrix} = ... ...ec{p}_1 & \vec{p}_2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix}1 & 2 \\ 1 & 1 \end{bmatrix}$$

とおく． $\det(P)=-1\neq0$ であるから，$P$ は正則である． よって， $A$ は

$$D=P^{-1}AP$$ (1)

と対角化される．

問 5.43 (対角化の確認)   $D=P^{-1}AP$ が成立することを 数値を代入して確認せよ．

注意 5.44 (対角化と固有空間)   線形変換 $f:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^2;\vec{y}=A\vec{x}$ の固有空間は

$$W(-2;f)= \left\{\left.\,{c\,\vec{p}_1}\,\,\right\vert\,\,{c\in\ma... ...,\right\vert\,\,{c\in\mathbb{R}}\,\right\}= \left\langle \vec{p}_2\right\rangle$$

である． $\dim(W(-2;f))=1$, $\dim(W(3;f))=1$, $W(-2;f)\cap W(3;f)=\{\vec{0}\}$ となるので，

$$W(-2;f)\oplus W(3;f)=\mathbb{R}^2, \qquad \dim(W(-2;f))+\dim(W(3;f))=\dim(\mathbb{R}^2)$$

が成り立つ． $\mathbb{R}^2$ は固有空間に直和分解される． $W(-2;f)$ の基底は $\{\vec{p}_1\}$， $W(3;f)$ の基底は $\{\vec{p}_2\}$， $\mathbb{R}^2$ の基底は $\{\vec{p}_1,\vec{p}_2\}$ となる．

問 5.45 (固有空間)   固有空間 $W(-2;f)$ は原点を通り方向ベクトル $\vec{p}_1$ の直線であり， $W(3;f)$ は原点を通り方向ベクトル $\vec{p}_2$ の直線である． 二つの直線のなす角度を求めよ．

Kondo Koichi
平成18年1月17日