5.16 対角化によるべき行列の計算

5.46 (対角化の応用例)   行列 $ A$

$\displaystyle D=P^{-1}AP$    

と対角化可能であるとする. このとき,左から $ P$ を掛けて,右から $ P^{-1}$ を掛けると

$\displaystyle PDP^{-1}=PP^{-1}APP^{-1} \quad\Rightarrow\quad PDP^{-1}=EAE \quad\Rightarrow\quad PDP^{-1}=A \quad\Rightarrow\quad A=PDP^{-1}$    

となる. これを用いるとべき行列 $ A^k$

$\displaystyle A^k$ $\displaystyle = (PDP^{-1})(PDP^{-1})\cdots(PDP^{-1})$    
  $\displaystyle = PD(P^{-1}P)D(P^{-1}P)\cdots (P^{-1}P)DP^{-1}$    
  $\displaystyle = PDEDE\cdots EDP^{-1}$    
  $\displaystyle = PDD\cdots DP^{-1}$    
  $\displaystyle = PD^kP^{-1}$    

と得られる. ここで $ D=\mathrm{diag}\,(\lambda_1,\lambda_2,\cdots,\lambda_n)$ おくと, $ D^k$

$\displaystyle D^k= \begin{bmatrix}\lambda_1{}^k\! & & & \smash{\lower1.7ex\hbox...
...\\ & & \!\ddots\! \\ \smash{\text{\huge$0$}}& & & \!\lambda_n{}^k \end{bmatrix}$    

と表される. よって

$\displaystyle A^k=P \begin{bmatrix}\lambda_1{}^k\! & & & \smash{\lower1.7ex\hbo...
...\!\ddots\! \\ \smash{\text{\huge$0$}}& & & \!\lambda_n{}^k \end{bmatrix} P^{-1}$    

となる.

5.47 (べき行列の具体例)   行列

$\displaystyle A= \begin{bmatrix}8 & -10 \\ 5 & -7 \end{bmatrix}$    

$\displaystyle D=P^{-1}AP, \qquad D= \begin{bmatrix}-2 & 0 \\ 0 & 3 \end{bmatrix...
... & 1 \end{bmatrix}, \quad P^{-1}= \begin{bmatrix}-1 & 2 \\ 1 & -1 \end{bmatrix}$    

と対角化される. これより

$\displaystyle A^k=PD^kP^{-1}= \begin{bmatrix}1 & 2 \\ 1 & 1 \end{bmatrix} \begi...
...(-1)^k2^{k+1}-2\cdot 3^k \\ (-1)^{k+1}2^k+3^k & (-1)^k2^{k+1}-3^k \end{bmatrix}$    

を得る.

Kondo Koichi
平成18年1月17日