5.17 3 次正方行列の対角化
例 5.48 (対角化の具体例) 行列
を対角化する.まず,行列
の固有多項式は
であるから, 固有値はより
2 重
となる.
のとき,
となるので,を解いて 固有ベクトルは
と得られる.のとき,
となるので,を解いて 固有ベクトルは
と得られる.行列
を対角化する. 重複する固有値は別のものとして考えて, 三つの固有値を
,
,
とおく. それぞれの固有値に属する固有ベクトルを
と選ぶ. このとき, 同じ固有値に属する 固有ベクトル
,
を選ぶときは, 1 次独立となるよう選ぶ. 以上より,
とおくと,行列は
と対角化される.
注意 5.49 (対角化の任意性),
,
の 取り方の順には自由度がある. 固有値の取り方にもスカラー倍の自由度がある. よって
,
は一通りに定まるわけではない.
注意 5.50 (固有空間による直和分解) 線形変換の固有空間は
である.,
,
となるので,
が成り立つ.は固有空間に直和分解される.
の基底は
,
の基底は
,
の基底は
となる.
問 5.51 (固有空間) 固有空間は原点を通り法線ベクトル
の平面であり, 固有空間
は原点を通り方向ベクトル
の直線である. 直線と平面のなす角度の最小値を求めよ.
Kondo Koichi
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平成18年1月17日