5.24 2 次対称行列の対角化

5.71 (対称行列の対角化の具体例)   対称行列

$\displaystyle A= \begin{bmatrix}1 & 2 \\ 2 & 1 \end{bmatrix}$    

を直交行列で対角化する. $ A$ の固有多項式は

$\displaystyle g_A(t)=\det(tE-A)= \begin{vmatrix}t-1 & -2 \\ -2 & t-1 \end{vmatrix} =(t-1)^2-4= t^2-2t-3= (t-3)(t+1)$    

であるから, 固有値は $ g_A(\lambda)=0$ より $ \lambda=3,-1$ となる.

  $\displaystyle 3E-A= \begin{bmatrix}2 & -2 \\ -2 & 2 \end{bmatrix} \quad\xrighta...
...uad\xrightarrow{\text{簡約化}}\quad \begin{bmatrix}1 & 1 \\ 0 & 0 \end{bmatrix}$    

より,$ \lambda=3$ $ \lambda=-1$ に 属する固有ベクトルはそれぞれ

$\displaystyle \vec{x}= \begin{bmatrix}x_2 \\ x_2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix...
...ix}-c \\ c \end{bmatrix} = c \begin{bmatrix}-1 \\ 1 \end{bmatrix} = c \vec{p}_2$    

となる. $ \{\vec{p}_1,\vec{p}_2\}$ は1 次独立であるから, $ P=\begin{bmatrix}\vec{p}_1 & \vec{p}_2 \end{bmatrix}$ は正則となる. しかし $ P$ は直交行列ではないので, 直交行列となるように固有ベクトルを選び直す. $ \left({\vec{p}_1}\,,\,{\vec{p}_2}\right)=0$ であるから, $ \vec{p}_1$$ \vec{p}_2$ は直交する. よってこれらを正規化すればよい.

$\displaystyle \vec{q}_1=\frac{\vec{p}_1}{\Vert\vec{p}_1\Vert}= \frac{1}{\sqrt{2...
...}{\Vert\vec{p}_2\Vert}= \frac{1}{\sqrt{2}} \begin{bmatrix}-1 \\ 1 \end{bmatrix}$    

とおくと, $ \left({\vec{q}_i}\,,\,{\vec{q}_j}\right)=\delta_{ij}$($ i,j=1,2$) が成り立ち正規直交系となる. 以上より行列 $ A$

$\displaystyle D=Q^{-1}AQ={Q}^{T}AQ, \qquad D=\mathrm{diag}\,(3,-1)= \begin{bmat...
... & -\frac{1}{\sqrt{2}} \\ \frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{2}} \end{bmatrix}$    

と直交行列 $ Q$ で対角化される.

注意 5.72 (対称行列の固有空間)   線形変換 $ f:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^2$; $ \vec{y}=A\vec{x}$ の 固有空間は

$\displaystyle W(3;f)= \left\langle \vec{p}_1\right\rangle = \left\langle \vec{q...
...1;f)= \left\langle \vec{p}_2\right\rangle = \left\langle \vec{q}_2\right\rangle$    

である. $ \dim(W(3;f))=1$, $ \dim(W(-1;f))=1$, $ W(3;f)\cap W(-1;f)=\{\vec{0}\}$ より

$\displaystyle ($$\displaystyle )\qquad W(3;f)\oplus W(-1;f)=\mathbb{R}^2, \qquad \dim(W(3;f))+\dim(W(-1;f))=\dim(\mathbb{R}^2)$    

を得る. 固有空間 $ W(3;f)$, $ W(-1;f)$ $ \mathbb{R}^2$ の直和分解である. また,異なる固有値に属する固有ベクトルは直交するので, 固有空間も直交し $ W(3;f)\perp W(-1;f)$ を得る. $ W(3;f)\perp W(-1;f)$ と(☆)より, $ W(3;f)$ $ \mathbb{R}^2$ における $ W(-1;f)$ の直交補空間となる. また逆に $ W(-1;f)$ $ \mathbb{R}^2$ における $ W(3;f)$ の直交補空間となる.

Kondo Koichi
平成18年1月17日