5.23 対称行列の対角化

定義 5.61 (対称行列)   行列 $ A\in\mathbb{R}^{n\times n}$$ {A}^{T}=A$ をみたすとき,$ A$対称行列(symmetric matrix)という.

注意 5.62 (対称行列)   対称行列は

$\displaystyle A= \begin{bmatrix}a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ a_{12} & a...
...\ \vdots & & \ddots & \vdots \\ a_{1n} & a_{2n} & \cdots & a_{nn} \end{bmatrix}$    

の形で表される.

5.63 (対称行列の具体例)   次に行列は対称行列である.

  $\displaystyle E= \begin{bmatrix}1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}, \quad \begin{bmat...
...trix}, \quad \begin{bmatrix}3 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 2 \end{bmatrix}.$    

定義 5.64 (共役行列)   行列 $ A=\begin{bmatrix}a_{ij}\end{bmatrix}\in\mathbb{C}^{m\times n}$ に対して $ \overline{A}=\begin{bmatrix}\overline{a_{ij}}\end{bmatrix}$ と定義する.

定義 5.65 (共役転置行列)   行列 $ A=\begin{bmatrix}a_{ij}\end{bmatrix}\in\mathbb{C}^{m\times n}$ に対して 共役転置行列 $ A^{*}={(\overline{A})}^{T}=\overline{{A}^{T}}$ と定義する.

定理 5.66 (対称行列の固有値)   対称行列の固有値はすべて実数である.


(証明)     $ A\vec{x}=\lambda\vec{x}$ において, $ \mathbb{C}$ 上の内積を用いて

$\displaystyle \left({\lambda\vec{x}}\,,\,{\vec{x}}\right)$ $\displaystyle = \lambda\left({\vec{x}}\,,\,{\vec{x}}\right)= \lambda\Vert\vec{x}\Vert^2$    
$\displaystyle \left({\lambda\vec{x}}\,,\,{\vec{x}}\right)$ $\displaystyle = \overline{\left({\vec{x}}\,,\,{\lambda\vec{x}}\right)}= \overli...
...}\,,\,{\vec{x}}\right)}= \overline{\lambda\left({\vec{x}}\,,\,{\vec{x}}\right)}$    
  $\displaystyle = \overline{\lambda\Vert\vec{x}\Vert^2}= \overline{\lambda}\Vert\vec{x}\Vert^2$    

を得る.ここで,

$\displaystyle \left({\vec{x}}\,,\,{A\vec{y}}\right)=\left({A^{*}\vec{x}}\,,\,{\vec{y}}\right)$    

が成り立つことを用いた. $ \lambda=\overline{\lambda}$ となるので, $ \lambda$ は実数である.

注意 5.67 (対称行列の固有値)   実対称行列の固有値は実数なので, 固有ベクトルも実数である.

注意 5.68 (対称行列と正規行列)   対称行列は正規行列である.

定理 5.69 (対称行列の固有値)   対称行列の異なる固有値に属する固有ベクトルは直交する.


(証明)     対称行列は正規行列であるから固有ベクトルは直交する. または,次のように示す. $ {A}^{T}=A$, $ A\vec{u}=\lambda\vec{u}$, $ A\vec{v}=\mu\vec{v}$, $ \lambda\neq\mu$ とする. このとき,

$\displaystyle \lambda\left({\vec{u}}\,,\,{\vec{v}}\right)= \left({\lambda\vec{u...
...left({\vec{u}}\,,\,{\mu\vec{v}}\right)= \mu\left({\vec{u}}\,,\,{\vec{v}}\right)$    

となる.

$\displaystyle (\lambda-\mu)\left({\vec{u}}\,,\,{\vec{v}}\right)=0$    

であるから, $ \lambda\neq\mu$ より $ \left({\vec{u}}\,,\,{\vec{v}}\right)=0$ を得る.

定理 5.70 (対称行列の対角化)   対称行列 $ A$ は 対角行列 $ D$ と直交行列 $ Q$ を用いて

  $\displaystyle D=Q^{-1}AQ={Q}^{T}AQ,$    
  $\displaystyle D=\mathrm{diag}\,(\lambda_1,\cdots,\lambda_n),$    
  $\displaystyle Q= \begin{bmatrix}\vec{q}_1 & \cdots & \vec{q}_n \end{bmatrix}, \quad \left({\vec{q}_i}\,,\,{\vec{q}_j}\right)=\delta_{ij}$    

と対角化される.

Kondo Koichi
平成18年1月17日