5.28 交代行列の対角化

定義 5.83 (交代行列)   行列 $ A\in\mathbb{R}^{n\times n}$ $ {A}^{T}=-A$ をみたすとき, $ A$歪対称行列(skew-symmetric matrix)または 交代行列(alternative matrix)という.

定理 5.84 (交代行列の固有値)   交代行列の固有値はすべて純虚数または 0 である.


(証明)     行列 $ A$ の固有値を $ \lambda$ としその固有ベトクルを $ \vec{x}$ とする. すなわち $ A\vec{x}=\lambda\vec{x}$ が成り立つとする. このとき, $ \mathbb{C}$ 上の内積を用いて,

$\displaystyle \left({\lambda\vec{x}}\,,\,{\vec{x}}\right)$ $\displaystyle = \lambda\left({\vec{x}}\,,\,{\vec{x}}\right)= \lambda\Vert\vec{x}\Vert^2$    
$\displaystyle \left({\lambda\vec{x}}\,,\,{\vec{x}}\right)$ $\displaystyle = \overline{\left({\vec{x}}\,,\,{\lambda\vec{x}}\right)}= \overli...
...ec{x}}\,,\,{\vec{x}}\right)}= -\overline{\left({A\vec{x}}\,,\,{\vec{x}}\right)}$    
  $\displaystyle = -\overline{\left({\lambda\vec{x}}\,,\,{\vec{x}}\right)}= -\over...
...{\lambda}\overline{\Vert\vec{x}\Vert^2}= -\overline{\lambda}\Vert\vec{x}\Vert^2$    

が成り立つ. ここで, $ \left({\vec{x}}\,,\,{A\vec{y}}\right)=\left({A^{*}\vec{x}}\,,\,{\vec{y}}\right)$ となることを用いた. これらを比較すると $ \lambda\Vert\vec{x}\Vert^2=-\bar{\lambda}\Vert\vec{x}\Vert^2$ となる.固有ベクトル $ \vec{x}$$ \vec{0}$ とはならないから, $ \lambda+\overline{\lambda}=0$ が成立する. このとき $ \lambda$ は純虚数である.

注意 5.85 (交代行列)   交代行列は正規行列である.

定理 5.86 (交代行列の固有ベクトル)   交代行列において, 異なる固有値に属する固有ベクトルは直交する.


(証明)     交代行列は正規行列であるから固有ベクトルは直交する. または,次のように示す. $ {A}^{T}=-A$ において, 固有値は純虚数なので $ A\vec{u}=i\lambda\vec{u}$, $ A\vec{v}=i\mu\vec{v}$, $ \lambda\neq\mu$ ( $ \lambda,\mu\in\mathbb{R}$) とする. $ \mathbb{C}$ 上の内積を用いて

$\displaystyle i\lambda\left({\vec{u}}\,,\,{\vec{v}}\right)$ $\displaystyle = \left({i\lambda\vec{u}}\,,\,{\vec{v}}\right)= \left({A\vec{u}}\...
...t({\vec{u}}\,,\,{{A}^{T}\vec{v}}\right)= -\left({\vec{u}}\,,\,{A\vec{v}}\right)$    
  $\displaystyle = -\left({\vec{u}}\,,\,{i\mu\vec{v}}\right)= -\overline{i\mu}\left({\vec{u}}\,,\,{\vec{v}}\right)= i\mu\left({\vec{u}}\,,\,{\vec{v}}\right)$    

となる.

$\displaystyle i(\lambda-\mu)\left({\vec{u}}\,,\,{\vec{v}}\right)=0$    

であるから, $ \lambda\neq\mu$ より $ \left({\vec{u}}\,,\,{\vec{v}}\right)=0$ を得る.

定理 5.87 (交代行列の対角化)   交代行列 $ A\in\mathbb{R}^{n\times n}$ の 固有値を $ \lambda_1,\cdots,\lambda_n$ とする. このとき,$ A$ は ユニタリー行列 $ U\in\mathbb{C}^{n\times n}$ を用いて

  $\displaystyle D=U^{-1}AU=U^{*}AU,$    
  $\displaystyle D=\mathrm{diag}\,(\lambda_1,\cdots,\lambda_n),$    
  $\displaystyle U= \begin{bmatrix}\vec{p}_1 & \cdots & \vec{p}_n \end{bmatrix}$    

$ \mathbb{C}$ 上で対角化される. ただし, $ \vec{p}_1,\cdots,\vec{p}_n$ $ \lambda_1,\cdots,\lambda_n$ の固有ベクトルであり, $ U$ がユニタリー行列となるように選ぶとする.

定理 5.88 (交代行列の実標準形)   交代行列 $ A\in\mathbb{R}^{n\times n}$ の 固有値を

$\displaystyle \lambda_1,\,\,\lambda_2=\overline{\lambda_1},\,\, \lambda_3,\,\,\...
...mbda_3},\,\, \cdots,\,\, \lambda_{n-1},\,\,\lambda_{n}=\overline{\lambda_{n-1}}$    

とする. このとき,$ A$ は 直交行列 $ Q\in\mathbb{R}^{n\times n}$ を用いて

  $\displaystyle D=Q^{-1}AQ={Q}^{T}AQ,$    
  $\displaystyle D= \begin{bmatrix}R(\lambda_1)\!\! \\ [-.8ex] & \!\!R(\lambda_2)\...
...in{bmatrix}0 & -\mathrm{Im}(\lambda) \\ \mathrm{Im}(\lambda) & 0 \end{bmatrix},$    
  $\displaystyle Q= \begin{bmatrix}\mathrm{Im}(\vec{q}_1) & \mathrm{Re}(\vec{q}_1) & \cdots & \mathrm{Im}(\vec{q}_{n-1}) & \mathrm{Re}(\vec{q}_{n-1}) \end{bmatrix}$    

と実標準形でブロック対角化される. ただし, $ \vec{q}_1,\cdots,\vec{q}_n$ $ \lambda_1,\cdots,\lambda_n$ の固有ベクトルであり, $ Q$ が直交行列となるように選ぶとする.

5.89 (交代行列の対角化の具体例)   行列

$\displaystyle A= \begin{bmatrix}0 & 1 \\ -1 & 0 \end{bmatrix}$    

を対角化する.

$\displaystyle \vert\lambda E-A\vert= \begin{vmatrix}\lambda & -1 \\ 1 & \lambda \end{vmatrix} =\lambda^2+1=0$    

より,固有値は $ \lambda=i,-i$ である.

$\displaystyle iE-A= \begin{bmatrix}i & -1 \\ 1 & i \end{bmatrix} \quad\xrightar...
...ad\xrightarrow{\text{簡約化}}\quad \begin{bmatrix}1 & -i \\ 0 & 0 \end{bmatrix}$    

より,固有ベクトルはそれぞれ

$\displaystyle \vec{x}= \begin{bmatrix}-i\,x_2 \\ x_2 \end{bmatrix} = c \begin{b...
...gin{bmatrix}i\,x_2 \\ x_2 \end{bmatrix} = c \begin{bmatrix}i \\ 1 \end{bmatrix}$    

となる.これより

$\displaystyle D=U^{*}AU, \qquad D=\mathrm{diag}\,(i,-i)= \begin{bmatrix}i & 0 \...
...trix}, \qquad U=\frac{1}{\sqrt{2}} \begin{bmatrix}-i & i \\ 1 & 1 \end{bmatrix}$    

$ \mathbb{C}$ 上で対角化される. また, $ \mathbb{R}$ 上で実標準形では

$\displaystyle D={Q}^{T}AQ, \qquad D= \begin{bmatrix}0 & -1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix}, \qquad Q=\frac{1}{\sqrt{2}} \begin{bmatrix}-1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$    

となる.

Kondo Koichi
平成18年1月17日