5.29 エルミート行列の対角化

定義 5.90 (エルミート行列)   行列 $ A\in\mathbb{C}^{n\times n}$$ A^{*}=A$ をみたすとき $ A$エルミート行列(Hermite matrix)という.

注意 5.91 (エルミート行列と対称行列)   エルミート行列 $ A$ の要素が実数のみであるとき, $ A^{*}={A}^{T}=A$ よりエルミート行列は対称行列となる.

定理 5.92 (エルミート行列の固有値)   エルミート列の固有値はすべて実数である.


(証明)     $ A\vec{x}=\lambda\vec{x}$ とし, $ \mathbb{C}$ 上の内積を用いて,

$\displaystyle \left({\lambda\vec{x}}\,,\,{\vec{x}}\right)$ $\displaystyle = \lambda\left({\vec{x}}\,,\,{\vec{x}}\right)= \lambda\Vert\vec{x}\Vert^2$    
$\displaystyle \left({\lambda\vec{x}}\,,\,{\vec{x}}\right)$ $\displaystyle = \overline{\left({\vec{x}}\,,\,{\lambda\vec{x}}\right)}= \overli...
...e{\lambda}\overline{\Vert\vec{x}\Vert^2}= \overline{\lambda}\Vert\vec{x}\Vert^2$    

が成り立つ. ここで, $ \left({\vec{x}}\,,\,{A\vec{y}}\right)=\left({A^{*}\vec{x}}\,,\,{\vec{y}}\right)$ を用いた. $ (\lambda-\overline{\lambda})\Vert\vec{x}\Vert^2=0$, $ \Vert\vec{x}\Vert\neq 0$ より, $ \lambda-\overline{\lambda}=0$ が成立する. $ \lambda$ は実数である.

注意 5.93 (エルミート行列)   エルミート行列は正規行列である.

定理 5.94 (エルミート行列の固有ベクトル)   エルミート行列において, 異なる固有値に属する固有ベクトルは直交する.


(証明)     エルミート行列は正規行列であるので固有ベクトルは直交する. または,次のように示す. $ A^{*}=A$, $ A\vec{u}=\lambda\vec{u}$, $ A\vec{v}=\mu\vec{v}$, $ \lambda\neq\mu$ ( $ \lambda,\mu\in\mathbb{R}$) とする. $ \mathbb{C}$ 上の内積を用いて,

$\displaystyle \lambda\left({\vec{u}}\,,\,{\vec{v}}\right)= \left({\lambda\vec{u...
...u}\left({\vec{u}}\,,\,{\vec{v}}\right)= \mu\left({\vec{u}}\,,\,{\vec{v}}\right)$    

となる.

$\displaystyle (\lambda-\mu)\left({\vec{u}}\,,\,{\vec{v}}\right)=0$    

であるから, $ \lambda\neq\mu$ より $ \left({\vec{u}}\,,\,{\vec{v}}\right)=0$ を得る.

定理 5.95 (エルミート行列の対角化)   エルミート行列 $ A\in\mathbb{C}^{n\times n}$ の 固有値を $ \lambda_1,\cdots,\lambda_n$ とする. このとき,$ A$ は ユニタリー行列 $ U\in\mathbb{C}^{n\times n}$ を用いて

$\displaystyle D=U^{-1}AU=U^{*}AU, \qquad D=\mathrm{diag}\,(\lambda_1,\cdots,\lambda_n), \quad U= \begin{bmatrix}\vec{p}_1 & \cdots & \vec{p}_n \end{bmatrix}$    

と対角化される. ただし, $ \vec{p}_1,\cdots,\vec{p}_n$ $ \lambda_1,\cdots,\lambda_n$ の固有ベクトルであり, $ U$ がユニタリー行列となるように選ぶとする.

5.96 (エルミート行列の対角化の具体例)   行列

$\displaystyle A= \begin{bmatrix}1 & i \\ -i & 1 \end{bmatrix}$    

を対角化する.

$\displaystyle \det(\lambda E-A)= \begin{vmatrix}\lambda-1 & -i \\ i & \lambda-1 \end{vmatrix} =\lambda(\lambda-2)=0$    

より,固有値は $ 0,2$ である.

$\displaystyle 0E-A= \begin{bmatrix}-1 & -i \\ i & -1 \end{bmatrix} \quad\xright...
...ad\xrightarrow{\text{簡約化}}\quad \begin{bmatrix}1 & -i \\ 0 & 0 \end{bmatrix}$    

より,固有ベクトルはそれぞれ

$\displaystyle \vec{x}= \begin{bmatrix}-ix_2 \\ x_2 \end{bmatrix} = c \begin{bma...
...x}ix_2 \\ x_2 \end{bmatrix} = c \begin{bmatrix}i \\ 1 \end{bmatrix} =c\vec{p}_2$    

となる. $ \left({\vec{p}_1}\,,\,{\vec{p}_2}\right)=0$ であるから, 規格化して $ \vec{q}_1=\vec{p}_1/\sqrt{2}$, $ \vec{q}_2=\vec{p}_2/\sqrt{2}$ とする. このとき $ A$ はユニタリー行列 $ U$ を用いて

$\displaystyle D=U^{*}AU, \qquad D=\mathrm{diag}\,(0,2)= \begin{bmatrix}0 & 0 \\...
...\end{bmatrix} = \frac{1}{\sqrt{2}} \begin{bmatrix}-i & i \\ 1 & 1 \end{bmatrix}$    

と対角化される.

5.97 (エルミート行列の対角化の具体例)   行列

$\displaystyle A= \begin{bmatrix}0 & i & 1 \\ -i & 0 & i \\ 1 & -i & 0 \end{bmatrix}$    

を対角化する.

$\displaystyle \det(\lambda E-A)= \begin{vmatrix}\lambda & -i & -1 \\ i & \lambda & -i \\ -1 & i & \lambda \end{vmatrix} =(\lambda-1)^2(\lambda+2)=0$    

より,固有値は $ 1$(2 個), $ -2$ である.

  $\displaystyle E-A= \begin{bmatrix}1 & -i & -1 \\ i & 1 & -i \\ -1 & i & 1 \end{...
...約化}}\quad \begin{bmatrix}1 & -i & -1 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix},$    
  $\displaystyle -2E-A= \begin{bmatrix}-2 & -i & -1 \\ i & -2 & -i \\ -1 & i & -2 ...
...{簡約化}}\quad \begin{bmatrix}1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & i \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}$    

より,固有ベクトルはそれぞれ

$\displaystyle \vec{x}= \begin{bmatrix}ix_2+x_3 \\ x_2 \\ x_3 \end{bmatrix} = c_...
...\\ x_3 \end{bmatrix} = c \begin{bmatrix}-1 \\ -i \\ 1 \end{bmatrix} =c\vec{p}_3$    

となる. $ \left({\vec{p}_1}\,,\,{\vec{p}_2}\right)=i$, $ \left({\vec{p}_1}\,,\,{\vec{p}_3}\right)=0$, $ \left({\vec{p}_2}\,,\,{\vec{p}_3}\right)=0$ であるから,

  $\displaystyle \vec{q}_1= \frac{\vec{p}_1}{\Vert\vec{p}_1\Vert} = \frac{1}{\sqrt{2}} \begin{bmatrix}i \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix},$    
  $\displaystyle \vec{p}'_2= \vec{p}_2-\left({\vec{p}_2}\,,\,{\vec{q}_1}\right)\ve...
...\vec{p}'_2\Vert} = \frac{1}{\sqrt{6}} \begin{bmatrix}1 \\ i \\ 2 \end{bmatrix},$    
  $\displaystyle \vec{q}_3= \frac{\vec{p}_3}{\Vert\vec{p}_3\Vert} = \frac{1}{\sqrt{3}} \begin{bmatrix}-1 \\ -i \\ 1 \end{bmatrix}$    

とおくと, 正規直交系 $ \left({\vec{q}_i}\,,\,{\vec{q}_j}\right)=\delta_{ij}$ となる. このとき $ A$ はユニタリー行列 $ U$ を用いて

$\displaystyle D=U^{*}AU, \qquad D=\mathrm{diag}\,(1,1,-2)= \begin{bmatrix}1 & 0...
...frac{-i}{\sqrt{3}} \\ 0 & \frac{2}{\sqrt{6}} & \frac{1}{\sqrt{3}} \end{bmatrix}$    

と対角化される.

Kondo Koichi
平成18年1月17日