5.31 直交行列の対角化

定理 5.105 (直交行列の固有値)   直交行列の固有値は絶対値が $1$ となる複素数である．

（証明）     ${A}^{T}A=E$, $A\vec{x}=\lambda\vec{x}$ とし， $\mathbb{C}$ 上の内積を用いて，

$$\left({\lambda\vec{x}}\,,\,{\lambda\vec{x}}\right) = \lambda\overline{\lambda}\left({\vec{x}}\,,\,{\vec{x}}\right)= \vert\lambda\vert^2\Vert\vec{x}\Vert^2$$

$$\left({\lambda\vec{x}}\,,\,{\lambda\vec{x}}\right) = \left({A\vec{x}}\,,\,{A\vec{x}}\right)= \left({{A}^{T}A\vec{x}}... ...,,\,{\vec{x}}\right)= \left({\vec{x}}\,,\,{\vec{x}}\right)= \Vert\vec{x}\Vert^2$$

が成り立つ． ここで， $\left({\vec{x}}\,,\,{A\vec{y}}\right)=\left({{A}^{T}\vec{x}}\,,\,{\vec{y}}\right)$ を用いた． $(\vert\lambda\vert^2-1)\Vert\vec{x}\Vert^2=0$, $\Vert\vec{x}\Vert\neq 0$ より， $\vert\lambda\vert=1$ が成立する．

注意 5.106 (直交行列)   直交行列は正規行列である．

定理 5.107 (直交行列の固有ベクトル)   直交行列において， 異なる固有値に属する固有ベクトルは直交する．

（証明）     直交行列は正規行列であるので固有ベクトルは直交する． または，次のように示す． ${A}^{T}A=E$ であり, 固有値は複素平面の単位円上にあるから， $A\vec{u}=e^{i\lambda}\vec{u}$, $A\vec{v}=e^{i\mu}\vec{v}$, $\lambda\neq\mu$ ( $\lambda,\mu\in\mathbb{R}$) とする． $\mathbb{C}$ 上の内積を用いて，

$$\left({e^{i\lambda}\vec{u}}\,,\,{e^{i\mu}\vec{v}}\right) = e^{i\lambda}\overline{e^{i\mu}}\left({\vec{u}}\,,\,{\vec{v}}\ri... ...}\,,\,{\vec{v}}\right)= e^{i(\lambda-\mu)}\left({\vec{u}}\,,\,{\vec{v}}\right),$$

$$\left({e^{i\lambda}\vec{u}}\,,\,{e^{i\mu}\vec{v}}\right) = \left({A\vec{u}}\,,\,{A\vec{v}}\right)= \left({{A}^{T}A\vec{u}}... ...t)= \left({E\vec{u}}\,,\,{\vec{v}}\right)= \left({\vec{u}}\,,\,{\vec{v}}\right)$$

となる． ここで $\left({\vec{x}}\,,\,{A\vec{y}}\right)=\left({{A}^{T}\vec{x}}\,,\,{\vec{y}}\right)$ を用いた．

$$(e^{i(\lambda-\mu)}-1)\left({\vec{u}}\,,\,{\vec{v}}\right)=0$$

であるから， $\lambda\neq\mu$ より $\left({\vec{u}}\,,\,{\vec{v}}\right)=0$ を得る．

定理 5.108 (直交行列の対角化)   直交行列 $A\in\mathbb{R}^{n\times n}$ の 固有値を $\lambda_1,\cdots,\lambda_n$ とする． このとき，$A$ は ユニタリー行列 $U\in\mathbb{C}^{n\times n}$ を用いて

$$D=U^{-1}AU=U^{*}AU, \qquad D=\mathrm{diag}\,(\lambda_1,\cdots,\lambda_n), \quad U= \begin{bmatrix}\vec{p}_1 & \cdots & \vec{p}_n \end{bmatrix}$$

と対角化される． ただし， $\vec{p}_1,\cdots,\vec{p}_n$ は $\lambda_1,\cdots,\lambda_n$ の固有ベクトルであり， $U$ がユニタリー行列となるように選ぶとする．

定理 5.109 (直交行列の実標準形)   直交行列 $A\in\mathbb{R}^{n\times n}$ の 固有値を

$$\lambda_1,\,\,\lambda_2=\overline{\lambda_1},\,\, \lambda_3,\,\,\... ...lambda_{2k-1}},\,\, \lambda_{2k+1}=1,\,\, \cdots,\,\, \lambda_{l}=-1,\,\,\cdots$$

とする． このとき，$A$ は 直交行列 $Q\in\mathbb{R}^{n\times n}$ を用いて

$$D=Q^{-1}AQ={Q}^{T}AQ,$$

$$D= \begin{bmatrix}R(\lambda_1) \\ & \!\!R(\lambda_2) \\ & & \!\!\... ...\\ & & & & & \ddots \\ & & & & & & -1 \\ & & & & & & & \ddots \\ \end{bmatrix},$$

$$R(\lambda)= \begin{bmatrix}\mathrm{Re}(\lambda) & -\mathrm{Im}(\l... ...\sin(\arg(\lambda)) \\ \sin(\arg(\lambda)) & \cos(\arg(\lambda)) \end{bmatrix},$$

$$Q= \begin{bmatrix}\mathrm{Im}(\vec{q}_1) & \mathrm{Re}(\vec{q}_1)... ...e}(\vec{q}_{2k-1}) & \vec{q}_{2k+1} & \cdots \vec{q}_{l} & \cdots \end{bmatrix}$$

と実標準形でブロック対角化される． ただし， $\vec{q}_1,\cdots,\vec{q}_n$ は $\lambda_1,\cdots,\lambda_n$ の固有ベクトルであり， $Q$ が直交行列となるように選ぶとする．

例 5.110 (直交行列の対角化の具体例)   行列

$$A= \begin{bmatrix}\displaystyle{\frac{1}{2}} & \displaystyle{-\fr... ...\\ \displaystyle{\frac{\sqrt{3}}{2}} & \displaystyle{\frac{1}{2}} \end{bmatrix}$$

を対角化する．

$$\det(\lambda E-A)= \begin{vmatrix}\lambda-\displaystyle{\frac{1}{... ...}{2}} & \lambda-\displaystyle{\frac{1}{2}} \end{vmatrix} =\lambda^2-\lambda+1=0$$

より，固有値は

$$\frac{1+\sqrt{3}i}{2}, \quad \frac{1-\sqrt{3}i}{2}$$

である．

$$\frac{1+\sqrt{3}i}{2}E-A= \frac{1}{2} \begin{bmatrix}\sqrt{3}i & ... ...d\xrightarrow{\text{簡約化}}\quad \begin{bmatrix}1 & -i \\ 0 & 0 \end{bmatrix},$$

$$\frac{1-\sqrt{3}i}{2}E-A= \frac{1}{2} \begin{bmatrix}-\sqrt{3}i &... ...uad\xrightarrow{\text{簡約化}}\quad \begin{bmatrix}1 & i \\ 0 & 0 \end{bmatrix}$$

より，固有ベクトルはそれぞれ

$$\vec{x}= \begin{bmatrix}ix_2 \\ x_2 \end{bmatrix} = c \begin{bmat... ...-ix_2 \\ x_2 \end{bmatrix} = c \begin{bmatrix}-i \\ 1 \end{bmatrix} =c\vec{p}_2$$

となる． $\left({\vec{p}_1}\,,\,{\vec{p}_2}\right)=0$ であるから， 規格化して $\vec{q}_1=\vec{p}_1/\sqrt{2}$, $\vec{q}_2=\vec{p}_2/\sqrt{2}$ とする． このとき $A$ はユニタリー行列 $U$ を用いて

$$D=U^{*}AU,$$

$$D=\mathrm{diag}\,\left(\frac{1+\sqrt{3}i}{2}, \frac{1-\sqrt{3}i}{... ...)= \frac{1}{2} \begin{bmatrix}1+\sqrt{3}i & 0 \\ 0 & 1-\sqrt{3}i \end{bmatrix},$$

$$U= \begin{bmatrix}\vec{q}_1 & \vec{q}_2 \end{bmatrix} = \frac{1}{\sqrt{2}} \begin{bmatrix}i & -i \\ 1 & 1 \end{bmatrix}$$

と対角化される． 実標準系では

$$D={Q}^{T}AQ, \qquad D= \begin{bmatrix}\displaystyle{\frac{1}{2}} ... ...frac{1}{2}} \end{bmatrix}, \quad Q= \begin{bmatrix}1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$$

となる．

Kondo Koichi
平成18年1月17日