5.32 ユニタリー行列の対角化

定理 5.111 (ユニタリー行列の固有値)   ユニタリー行列の固有値は絶対値が $ 1$ となる複素数である.


(証明)     $ A^{*}A=E$, $ A\vec{x}=\lambda\vec{x}$ とし, $ \mathbb{C}$ 上の内積を用いて,

$\displaystyle \left({\lambda\vec{x}}\,,\,{\lambda\vec{x}}\right)$ $\displaystyle = \lambda\overline{\lambda}\left({\vec{x}}\,,\,{\vec{x}}\right)= \vert\lambda\vert^2\Vert\vec{x}\Vert^2$    
$\displaystyle \left({\lambda\vec{x}}\,,\,{\lambda\vec{x}}\right)$ $\displaystyle = \left({A\vec{x}}\,,\,{A\vec{x}}\right)= \left({A^{*}A\vec{x}}\,...
...,,\,{\vec{x}}\right)= \left({\vec{x}}\,,\,{\vec{x}}\right)= \Vert\vec{x}\Vert^2$    

が成り立つ. ここで, $ \left({\vec{x}}\,,\,{A\vec{y}}\right)=\left({A^{*}\vec{x}}\,,\,{\vec{y}}\right)$ を用いた. $ (\vert\lambda\vert^2-1)\Vert\vec{x}\Vert^2=0$, $ \Vert\vec{x}\Vert\neq 0$ より, $ \vert\lambda\vert=1$ が成立する.

注意 5.112 (ユニタリー行列)   ユニタリー行列は正規行列である.

定理 5.113 (ユニタリー行列の固有ベクトル)   ユニタリー行列において, 異なる固有値に属する固有ベクトルは直交する.


(証明)     ユニタリー行列は正規行列であるので固有ベクトルは直交する. または,次のように示す. $ A^{*}A=E$ であり, 固有値は複素平面の単位円上にあるから, $ A\vec{u}=e^{i\lambda}\vec{u}$, $ A\vec{v}=e^{i\mu}\vec{v}$, $ \lambda\neq\mu$ ( $ \lambda,\mu\in\mathbb{R}$) とする. $ \mathbb{C}$ 上の内積を用いて,

$\displaystyle \left({e^{i\lambda}\vec{u}}\,,\,{e^{i\mu}\vec{v}}\right)$ $\displaystyle = e^{i\lambda}\overline{e^{i\mu}}\left({\vec{u}}\,,\,{\vec{v}}\ri...
...}\,,\,{\vec{v}}\right)= e^{i(\lambda-\mu)}\left({\vec{u}}\,,\,{\vec{v}}\right),$    
$\displaystyle \left({e^{i\lambda}\vec{u}}\,,\,{e^{i\mu}\vec{v}}\right)$ $\displaystyle = \left({A\vec{u}}\,,\,{A\vec{v}}\right)= \left({A^{*}A\vec{u}}\,...
...t)= \left({E\vec{u}}\,,\,{\vec{v}}\right)= \left({\vec{u}}\,,\,{\vec{v}}\right)$    

となる. ここで $ \left({\vec{x}}\,,\,{A\vec{y}}\right)=\left({A^{*}\vec{x}}\,,\,{\vec{y}}\right)$ を用いた.

$\displaystyle (e^{i(\lambda-\mu)}-1)\left({\vec{u}}\,,\,{\vec{v}}\right)=0$    

であるから, $ \lambda\neq\mu$ より $ \left({\vec{u}}\,,\,{\vec{v}}\right)=0$ を得る.

定理 5.114 (ユニタリー行列の対角化)   ユニタリー行列 $ A\in\mathbb{C}^{n\times n}$ の 固有値を $ \lambda_1,\cdots,\lambda_n$ とする. このとき,$ A$ は ユニタリー行列 $ U\in\mathbb{C}^{n\times n}$ を用いて

$\displaystyle D=U^{-1}AU=U^{*}AU, \qquad D=\mathrm{diag}\,(\lambda_1,\cdots,\lambda_n), \quad U= \begin{bmatrix}\vec{p}_1 & \cdots & \vec{p}_n \end{bmatrix}$    

と対角化される. ただし, $ \vec{p}_1,\cdots,\vec{p}_n$ $ \lambda_1,\cdots,\lambda_n$ の固有ベクトルであり, $ U$ がユニタリー行列となるように選ぶとする.

Kondo Koichi
平成18年1月17日