2.2 数ベクトル空間の性質

注意 2.4 (零ベクトル)   $ \mathbb{R}^{n}$ または $ \mathbb{C}^n$ のベクトル $ \displaystyle{
\vec{0}=
{\begin{bmatrix}
0 & 0 & \cdots & 0
\end{bmatrix}}^{T}
}$零ベクトル(zero vector)という. 零ベクトルは

$\displaystyle \vec{a}+\vec{0}=\vec{a}\,, \qquad \vec{0}+\vec{a}=\vec{a}$    

をみたす.

注意 2.5 (逆ベクトルと差)   $ \vec{a}$逆ベクトル

$\displaystyle -\vec{a}=(-1)\vec{a}= \begin{bmatrix}-a_{1} \\ -a_{2} \\ \vdots \\ -a_{n} \end{bmatrix}$    

と定義する. また, $ \vec{a}$$ \vec{b}$ との

$\displaystyle \vec{b}-\vec{a}= \vec{b}+(-1)\vec{a}$    

と定義する.

定理 2.6 (ベクトルの演算の性質)   ベクトル $ \vec{a},\vec{b},\vec{c}\in\mathbb{R}^n$ (または $ \mathbb{C}^n$) とスカラー $ \alpha,\beta\in\mathbb{R}$ (または $ \mathbb{C}$)に対して 次の性質が成立する:
(i).
(交換則) $ \vec{a}+\vec{b}=\vec{b}+\vec{a}$.
(ii).
(結合則) $ (\vec{a}+\vec{b})+\vec{c}=
\vec{a}+(\vec{b}+\vec{c})$.
(iii).
(スカラー倍に関する結合則) $ \alpha(\beta\vec{a})=(\alpha\beta)\vec{a}$.
(iv).
(スカラー倍に関する分配即) $ (\alpha+\beta)\vec{a}=\alpha\vec{a}+\beta\vec{a}$.
(v).
(スカラー倍に関する分配即) $ \alpha(\vec{a}+\vec{b})=\alpha\vec{a}+\alpha\vec{b}$.

2.7 (ベクトルの演算の性質)   この定理をスカラー倍とベクトルの和の定義を用いて証明せよ.



Kondo Koichi
平成18年1月17日