2.3 実ベクトルの内積

定義 2.8 (内積)   $ \mathbb{R}^{n}$ の 2 つのベクトル

$\displaystyle \vec{a}= \begin{bmatrix}a_{1} \\ a_{2} \\ \vdots \\ a_{n} \end{bm...
... \qquad \vec{b}= \begin{bmatrix}b_{1} \\ b_{2} \\ \vdots \\ b_{n} \end{bmatrix}$    

に対して

  $\displaystyle \left({\vec{a}}\,,\,{\vec{b}}\right)= {\vec{a}}^{T}\vec{b}= \sum_{k}^{n}a_{k}b_{k}= a_{1}b_{1}+a_{2}b_{2}+\cdots+a_{n}b_{n}$    

なる 2 項演算を内積(inner product)という.

2.9 (内積の具体例)   ベクトル

$\displaystyle \vec{a}= \begin{bmatrix}1 \\ 1 \end{bmatrix}\,,\quad \vec{b}= \begin{bmatrix}2 \\ -1 \end{bmatrix} \in\mathbb{R}^{2}$    

の内積は

$\displaystyle \left({\vec{a}}\,,\,{\vec{b}}\right)= a_{1}b_{1}+a_{2}b_{2}= 1\times2+1\times(-1)=1$    

である. ベクトル

$\displaystyle \vec{a}= \begin{bmatrix}1 \\ 1 \\ 1 \end{bmatrix}\,,\quad \vec{b}= \begin{bmatrix}2 \\ -1 \\ 1 \end{bmatrix} \in\mathbb{R}^{3}$    

の内積は

$\displaystyle \left({\vec{a}}\,,\,{\vec{b}}\right)= a_{1}b_{1}+a_{2}b_{2}+a_{3}b_{3}= 1\times2+1\times(-1)+1\times1=2$    

である.

定理 2.10 (内積の性質)   $ \vec{a},\vec{b},\vec{c}\in\mathbb{R}^{n}$ $ \alpha\in\mathbb{R}$ に対して
(i).
(内積の交換則) $ \left({\vec{a}}\,,\,{\vec{b}}\right)=\left({\vec{b}}\,,\,{\vec{a}}\right)$.
(ii).
(内積の分配則) $ \left({\vec{a}+\vec{b}}\,,\,{\vec{c}}\right)=
\left({\vec{a}}\,,\,{\vec{c}}\right)+\left({\vec{b}}\,,\,{\vec{c}}\right)$.
(iii).
(内積のスカラー倍の結合則) $ \left({\alpha\vec{a}}\,,\,{\vec{b}}\right)=\alpha\left({\vec{a}}\,,\,{\vec{b}}\right)$, $ \left({\vec{a}}\,,\,{\alpha\vec{b}}\right)=\alpha\left({\vec{a}}\,,\,{\vec{b}}\right)$.
(iv).
$ \vec{a}\neq\vec{0}$ のとき $ \left({\vec{a}}\,,\,{\vec{a}}\right)>0$

2.11 (内積の性質)   これを示せ.

Kondo Koichi
平成18年1月17日