3.12 正規直交系は 1 次独立

定理 3.54 (直交系の 1 次独立性)   内積空間 $ V$ において, ベクトル $ \vec{u}_1,\vec{u}_2,\cdots,\vec{u}_n\in V$ が直交系であるとき, $ \vec{u}_1,\cdots,\vec{u}_n$ は 1 次独立である.


(証明)     1 次関係

$\displaystyle c_1\vec{u}_1+ c_2\vec{u}_2+ \cdots+ c_j\vec{u}_j+ \cdots+ c_n\vec{u}_n= \vec{0}$    

の両辺と $ \vec{u}_j$ との内積をとると

$\displaystyle \left({c_1\vec{u}_1+c_2\vec{u}_2+\cdots+c_j\vec{u}_j+\cdots+c_n\vec{u}_n}\,,\,{\vec{u}_j}\right)$ $\displaystyle = \left({\vec{0}}\,,\,{\vec{u}_j}\right)$    
$\displaystyle c_1\left({\vec{u}_1}\,,\,{\vec{u}_j}\right)+ c_2\left({\vec{u}_2}...
..._j}\,,\,{\vec{u}_j}\right)+ \cdots+ c_n\left({\vec{u}_n}\,,\,{\vec{u}_j}\right)$ $\displaystyle =0$    

となる. $ \left({\vec{u}_i}\,,\,{\vec{u}_j}\right)=\alpha\delta_{ij}$ ( $ \alpha\neq0$) より

$\displaystyle c_1\times 0+ c_2\times 0+ \cdots+ c_j\times \alpha+ \cdots+ c_n\times 0$ $\displaystyle =0$    
$\displaystyle c_j$ $\displaystyle =0$    

を得る.すべての $ j=1,2,\cdots,n$ に対して 同様に成り立つので

$\displaystyle c_1=0,\quad c_2=0,\quad \cdots,\quad c_j=0,\quad \cdots,\quad c_n=0$    

となる. 自明な 1 次関係のみであるから, ベクトル $ \vec{u}_1,\vec{u}_2,\cdots,\vec{u}_n$ は 1 次独立である.

Kondo Koichi
平成18年1月17日