3.13 ベトクルの 1 次独立の性質～その 1

定理 3.55 (1 次独立の性質)

個のベトクル $\vec{u}_1,\vec{u}_2,\cdots,\vec{u}_m\in V$ に対して次の条件が成り立つ．

(i).: 個のうち個のベクトル $\vec{u}_1,\vec{u}_2,\cdots,\vec{u}_r$ が 1 次従属であれば，個のベトクル $\vec{u}_1,\vec{u}_2,\cdots,\vec{u}_m$ も 1 次従属となる．
(ii).: 個のベトクル $\vec{u}_1,\vec{u}_2,\cdots,\vec{u}_m$ が 1 次独立であれば， $\vec{u}_1,\vec{u}_2,\cdots,\vec{u}_m$ のうち任意の $(1\leq r\leq m)$ 個のベクトルも 1 次独立である．

（証明） (i) ベクトル $\vec{a}_1$ , $\cdots$ , $\vec{a}_r$ は 1 次従属であるので， 1 次関係

$\displaystyle c_1\vec{a}_1+ \cdots+ c_r\vec{a}_r= \vec{0}$

をみたす非自明な係数 $c_1,\cdots,c_r$ が存在する．このとき，

$\displaystyle c_1\vec{a}_1+ \cdots+ c_r\vec{a}_r+ 0\vec{a}_{r+1}+ \cdots+ 0\vec{a}_{m} = \vec{0}$

となるので， $\vec{a}_1$ , $\cdots$ , $\vec{a}_m$ は 1 次従属である． (ii)は(i)の対偶である．

定理 3.56 (1 次独立の性質)

個のベクトル $\vec{u}_1$ , $\vec{u}_2$ , $\cdots$ , $\vec{u}_m$ が 1 次従属であることと， $\vec{u}_1$ , $\vec{u}_2$ , $\cdots$ , $\vec{u}_m$ のうち少なくとも 1 個のベクトルが他の

個のベクトルの 1 次結合で表されることとは，必用十分条件である．

（証明）（必用条件）ベクトル $\vec{u}_1$ , $\cdots$ , $\vec{u}_m$ が 1 次従属であれば， 1 次関係

$\displaystyle c_1\vec{u}_1+\cdots+c_m\vec{u}_m=\vec{0}$

をみたす係数で非自明なもの $c_1=\cdots=c_m=0$ 以外にも存在する．例えば $c_1\neq0$ とすると

$\displaystyle \vec{u}_1= \left(-\frac{c_2}{c_1}\right)\vec{u}_2+ \cdots+ \left(-\frac{c_m}{c_1}\right)\vec{u}_m$

となる． $\vec{u}_1$ は $\vec{u}_1$ , $\cdots$ , $\vec{u}_m$ の 1 次結合で表される．（十分条件） $\vec{u}_1$ が他のベクトル $\vec{u}_2$ , $\cdots$ , $\vec{u}_m$ の 1 次結合で表されるとすると

$\displaystyle \vec{u}_1= c_2\vec{u}_2+ \cdots+ c_m\vec{u}_m$

となる．これより

$\displaystyle (-1)\vec{u}_1+ c_2\vec{u}_2+ \cdots+ c_m\vec{u}_m$	$\displaystyle =\vec{0}$
$\displaystyle c_1\vec{u}_1+ c_2\vec{u}_2+ \cdots+ c_m\vec{u}_m$	$\displaystyle =\vec{0}$

を得る． $c_1\neq0$ であるから，非自明な係数 $c_1,\cdots,c_m\in\mathbb{R}$ が存在する．よって $\vec{u}_1$ , $\cdots$ , $\vec{u}_m$ は 1 次従属である．

定理 3.57 (1 次独立の性質) ベトクル $\vec{u}_1,\vec{u}_2,\cdots,\vec{u}_n\in V$ が 1 次独立のとき，あるベクトル $\vec{v}\in V$ が

$\displaystyle \vec{v}= c_1\vec{u}_1+ c_2\vec{u}_2+ \cdots+ c_n\vec{u}_n$

と表されるとする．このとき $c_1,c_2,\cdots,c_m$ は一意に定まる．

（証明）一意に表されないと仮定する．このとき

$\displaystyle \vec{v}$

$\displaystyle = c_1\vec{u}_1+ c_2\vec{u}_2+ \cdots+ c_n\vec{u}_n, \qquad \vec{v}= c_1'\vec{u}_1+ c_2'\vec{u}_2+ \cdots+ c_n'\vec{u}_n$

と書かれる．これらの差をとると

$\displaystyle \vec{0}= \vec{v}-\vec{v}$

$\displaystyle = (c_1-c'_1)\vec{u}_1+ (c_2-c'_2)\vec{u}_2+ \cdots+ (c_n-c_n)\vec{u}_n$

となる．これは $\vec{u}_1,\cdots,\vec{u}_n$ に関する 1 次関係である． $\vec{u}_1,\cdots,\vec{u}_n$ は 1 次独立であるから，

$\displaystyle c_1-c'_1=0,\quad c_2-c'_2=0,\quad \cdots,\quad c_n-c'_n=0$

であり，

$\displaystyle c_1=c'_1,\quad c_2=c'_2,\quad \cdots,\quad c_n=c'_n$

が成り立つ．係数

は一意に定まる．

定理 3.58 (1 次独立の性質) ベクトル $\vec{u}_1,\vec{u}_2,\cdots,\vec{u}_m\in V$ が 1 次独立であり， $\vec{u}_1$ , $\vec{u}_2$ , $\cdots$ , $\vec{u}_m$ , $\vec{v}\in V$ が 1 次従属とする．このとき

$\displaystyle \vec{v}= c_1\vec{u}_1+ c_2\vec{u}_2+ \cdots+ c_m\vec{u}_m$

と一意に表される．

（証明）ベクトル $\vec{u}_1$ , $\vec{u}_2$ , $\cdots$ , $\vec{u}_m$ , $\vec{v}$ は 1 次従属であるから， 1 次関係

$\displaystyle c_1\vec{u}_1+ c_2\vec{u}_2+ \cdots+ c_m\vec{u}_m+ c\vec{v}= \vec{0}$

の係数 $c_1,\cdots,c_m,c$ は非自明なものとなる．このとき $c\neq 0$ となる．なぜなら

とすると係数 $c_1,\cdots,c_m$ のうち $c_j\neq0$ となる係数が存在することになり， 1 次関係

$\displaystyle c_1\vec{u}_1+ c_2\vec{u}_2+ \cdots+ c_m\vec{u}_m= \vec{0}$

は非自明な係数が存在することになる．これはベクトル $\vec{u}_1$ , $\vec{u}_2$ , $\cdots$ , $\vec{u}_m$ が 1 次独立であることと矛盾する．よって $c\neq 0$ となる．このときベクトル $\vec{v}$ は

$\displaystyle \vec{v}= \left(-\frac{c_1}{c}\right)\vec{u}_1+ \left(-\frac{c_2}{c}\right)\vec{u}_2+ \cdots+ \left(-\frac{c_n}{c}\right)\vec{u}_n$

と一意に表される．

Kondo Koichi
平成18年1月17日

3.13 ベトクルの 1 次独立の性質 ～ その 1

3.13 ベトクルの 1 次独立の性質～その 1