3.15 ベトクルの 1 次独立の性質 〜 その 2

定理 3.63 (ベトクルの 1 次独立の性質)   ベクトル $ \vec{v}_1$, $ \vec{v}_2$, $ \cdots$, $ \vec{v}_n\in V$ の 各ベクトルが $ \vec{u}_1,\vec{u}_2,\cdots,\vec{u}_m$ の 1 次結合で表され, かつ,$ n>m$ であるとき, $ \vec{v}_1,\vec{v}_2,\cdots,\vec{v}_n$ は 1 次従属である.


(証明)     ベクトル $ \vec{u}_1,\cdots,\vec{u}_m$ $ \vec{v}_1,\cdots,\vec{v}_n$ の 1 次結合で表されるので,

$\displaystyle \left(\vec{v}_1,\,\, \cdots,\,\, \vec{v}_n\right)= \left(\vec{u}_...
...\, \vec{u}_m\right)A, \qquad A= \begin{bmatrix}a_{ij} \end{bmatrix}_{m\times n}$    

と書ける. $ \vec{v}_1,\cdots,\vec{v}_n$ の 1 次関係は

$\displaystyle \vec{0}$ $\displaystyle = c_1\vec{v}_1+\cdots+c_n\vec{v}_n = \left(\vec{v}_1,\,\, \cdots,...
...v}_n\right)\vec{c} = \left(\vec{u}_1,\,\, \cdots,\,\, \vec{u}_m\right)A \vec{c}$    
  $\displaystyle = \left(\vec{u}_1,\,\, \cdots,\,\, \vec{u}_m\right)\vec{\tilde{c}}$    

となる. ここで $ \vec{\tilde{c}}=A\vec{c}$ とおいた. このとき $ A\vec{c}=\vec{\tilde{c}}$$ \vec{c}$ に関する方程式であると考える. $ n>m\geq\mathrm{rank}\,(A)$ より $ n-\mathrm{rank}\,(A)>0$ となるので, 方程式の解は $ 1$ 個以上の任意定数を含む. よって非自明解をもつので, $ \vec{v}_1,\cdots,\vec{v}_n$ は 非自明な 1 次関係の係数 $ \vec{c}$ をもつ.

3.64 (ベトクルの 1 次独立の性質)   ベクトル

$\displaystyle \vec{v}_1= \begin{bmatrix}2 \\ 1 \end{bmatrix},\quad \vec{v}_2= \...
...{bmatrix},\quad \vec{v}_3= \begin{bmatrix}5 \\ -1 \end{bmatrix} \in\mathbb{R}^2$    

は基本ベクトル $ \vec{e}_1$, $ \vec{e}_2$ を用いると

$\displaystyle \vec{v}_1=2\vec{e}_1+\vec{e}_2, \qquad \vec{v}_2=4\vec{e}_1+3\vec{e}_2, \qquad \vec{v}_3=5\vec{e}_1-\vec{e}_2$    

か書けるので,

$\displaystyle \left(\vec{v}_1,\,\, \vec{v}_2,\,\, \vec{v}_3\right)= \left(2\vec...
...}2 & 4 & 5 \\ 1 & 3 & -1 \end{bmatrix} = \left(\vec{e}_1,\,\, \vec{e}_2\right)A$    

となる. $ \vec{v}_1,\vec{v}_2,\vec{v}_3$ の 1 次関係は

$\displaystyle ($$\displaystyle )\quad \vec{0}$ $\displaystyle = c_1\vec{v}_1+c_2\vec{v}_2+c_3\vec{v}_3 = \left(\vec{v}_1,\,\, \...
...vec{e}_2\right)A \vec{c} = \left(\vec{e}_1,\,\, \vec{e}_2\right)\vec{\tilde{c}}$    

となる. ここで $ A\vec{c}=\vec{\tilde{c}}$ とおいた. これは $ \vec{c}$ に関する方程式となみせる. (☆)は $ \vec{e}_1$, $ \vec{e}_2$ の 1 次関係ともみなせる. $ \vec{e}_1$, $ \vec{e}_2$ は 1 次独立であるから, 自明な係数 $ \vec{\tilde{c}}=\vec{0}$ のみをもつ. よって $ A\vec{c}=\vec{0}$ となる. $ 2\geq\mathrm{rank}\,(A)$ より解の任意定数の個数は $ 3-\mathrm{rank}\,(A)\geq 1$ となる. 以上より $ \vec{c}$ は非自明な解となるから, $ \vec{v}_1,\vec{v}_2,\vec{v}_3$ は非自明な係数 $ \vec{c}$ をもつ. よって, $ \vec{v}_1,\vec{v}_2,\vec{v}_3$ は 1 次従属である.

注意 3.65 (ベトクルの 1 次独立の性質)   ベクトル空間 $ \mathbb{R}^m$$ n$ 個のベクトル $ \vec{v}_1$, $ \vec{v}_2$, $ \cdots$, $ \vec{v}_n$ は, $ n>m$ のとき 1 次従属である.

定理 3.66 (ベトクルの 1 次独立の性質)   ベクトル $ \vec{u}_1$, $ \vec{u}_2$, $ \cdots$, $ \vec{u}_m\in V$ と 行列 $ A=[a_{ij}]_{m\times n}$ に対して, 次の条件(i), (ii)が成り立つとき,$ A=O$ が成り立つ.
(i).
$ \vec{u}_1$, $ \vec{u}_2$, $ \cdots$, $ \vec{u}_m$ は 1 次独立.
(ii).
$ \left(\vec{u}_1,\,\,
\vec{u}_2,\,\,
\cdots,\,\,
\vec{u}_m\right)A=
\left(\vec{0},\,\,
\vec{0},\,\,
\cdots,\,\,
\vec{0}\right)$.


(証明)    

$\displaystyle \left(\vec{u}_1,\,\, \cdots,\,\, \vec{u}_m\right)A= \left(\vec{0},\,\, \cdots,\,\, \vec{0}\right)$    

より,

$\displaystyle \left. \begin{array}{r} a_{11}\vec{u}_1+\cdots+a_{m1}\vec{u}_m=\v...
...vdots\,\,\\ a_{1n}\vec{u}_1+\cdots+a_{mn}\vec{u}_m=\vec{0} \end{array} \right\}$    

となる. それぞれが $ \vec{u}_1,\cdots,\vec{u}_m$ の 1 次関係である. $ \vec{u}_1,\cdots,\vec{u}_m$ は 1 次独立であるので, 係数は自明なもののみに限る. よって $ a_{ij}=0$ となり,$ A=O$ を得る.

注意 3.67 ( 1 次関係)   特に $ A=\vec{c}=
\begin{bmatrix}
c_1 \\ \vdots \\ c_m
\end{bmatrix}$ とおく. このとき

$\displaystyle c_1\vec{u}_1+ c_2\vec{u}_2+ \cdots+ c_m\vec{m}_1= \left(\vec{u}_1...
...left(\vec{u}_1,\,\, \vec{u}_2,\,\, \cdots,\,\, \vec{u}_m\right)\vec{c}= \vec{0}$    

となり, $ \vec{u}_1,\cdots,\vec{u}_n$ の 1 次関係を得る. $ \vec{u}_1,\cdots,\vec{u}_n$ が 1 次独立であれば, $ \vec{c}=\vec{0}$ となる.

定理 3.68 (ベトクルの 1 次独立の性質)   ベクトル $ \vec{u}_1$, $ \vec{u}_2$, $ \cdots$, $ \vec{u}_m\in V$ が 1 次独立であれば,

$\displaystyle \left(\vec{u}_1,\,\, \vec{u}_2,\,\, \cdots,\,\, \vec{u}_m\right)A= \left(\vec{u}_1,\,\, \vec{u}_2,\,\, \cdots,\,\, \vec{u}_m\right)B$    

のとき,$ A=B$ が成立する.


(証明)    

  $\displaystyle \left(\vec{u}_1,\,\, \cdots,\,\, \vec{u}_m\right)A = \left(\vec{u...
...\, \cdots,\,\, \vec{u}_m\right)B= \left(\vec{0},\,\, \cdots,\,\, \vec{0}\right)$    
  $\displaystyle \quad\Rightarrow\quad \left(\vec{u}_1,\,\, \cdots,\,\, \vec{u}_m\...
...cdots,\,\, \vec{0}\right)\quad\Rightarrow\quad A-B=O \quad\Rightarrow\quad A=B.$    

3.69 (ベトクルの 1 次独立の性質)   ベクトル $ \vec{u}_1$, $ \vec{u}_2$, $ \vec{u}_3$, $ \vec{u}_4\in V$ は 1 次独立であり, ベクトル $ \vec{v}_1$, $ \vec{v}_2$, $ \vec{v}_3$, $ \vec{v}_4\in V$

$\displaystyle \vec{v}_1$ $\displaystyle = \vec{u}_1-\vec{u}_2+3\vec{u}_3,$    
$\displaystyle \vec{v}_2$ $\displaystyle = 2\vec{u}_1-\vec{u}_2+6\vec{u}_3+\vec{u}_4,$    
$\displaystyle \vec{v}_3$ $\displaystyle = 2\vec{u}_1-2\vec{u}_2+\vec{u}_3-\vec{u}_4,$    
$\displaystyle \vec{v}_4$ $\displaystyle = \vec{u}_1-\vec{u}_3+3\vec{u}_4$    

により与えられているとする. このとき,

$\displaystyle \left(\vec{v}_1,\,\, \vec{v}_2,\,\, \vec{v}_3,\,\, \vec{v}_4\righ...
...bmatrix} = \left(\vec{u}_1,\,\, \vec{u}_2,\,\, \vec{u}_3,\,\, \vec{u}_4\right)A$    

となる. $ \vec{v}_1,\cdots,\vec{v}_4$ の 1 次関係は

$\displaystyle \vec{0}$ $\displaystyle =c_1\vec{v}_1+\cdots+c_4\vec{v}_4= \left(\vec{v}_1,\,\, \cdots,\,...
...v}_4\right)\vec{c} = \left(\vec{u}_1,\,\, \cdots,\,\, \vec{u}_4\right)A \vec{c}$    
  $\displaystyle = \left(\vec{u}_1,\,\, \cdots,\,\, \vec{u}_4\right)\vec{\tilde{c}}$    

である. ここで $ A\vec{c}=\vec{\tilde{c}}$ とおいた. これは $ \vec{u}_1,\cdots,\vec{u}_4$ の 1 次関係ともみなせる. $ \vec{u}_1,\cdots,\vec{u}_4$ は 1 次独立であるから, 自明な係数 $ \vec{\tilde{c}}=\vec{0}$ のみをもつ. よって $ A\vec{c}=\vec{0}$ が成り立つ. $ A$ を簡約化すると $ A\to E$ であり, $ \mathrm{rank}\,(A)=4$ より, 解は自明な解 $ \vec{c}=\vec{0}$ に限る. 以上より $ \vec{v}_1,\cdots,\vec{v}_4$ は自明な係数 $ \vec{c}=\vec{0}$ のみをもつので,1 次独立である.

3.70 (ベトクルの 1 次独立の性質)   ベクトル $ \vec{u}_1$, $ \vec{u}_2$, $ \vec{u}_3$, $ \vec{u}_4\in V$ は 1 次独立であり, ベクトル $ \vec{v}_1$, $ \vec{v}_2$, $ \vec{v}_3$, $ \vec{v}_4\in V$

$\displaystyle \vec{v}_1$ $\displaystyle = 2\vec{u}_1+\vec{u}_2-\vec{u}_3-\vec{u}_4,$    
$\displaystyle \vec{v}_2$ $\displaystyle = \vec{u}_1-\vec{u}_2+2\vec{u}_3+\vec{u}_4,$    
$\displaystyle \vec{v}_3$ $\displaystyle = \vec{u}_1-\vec{u}_2+\vec{u}_3-\vec{u}_4,$    
$\displaystyle \vec{v}_4$ $\displaystyle = 2\vec{u}_1+\vec{u}_2-2\vec{u}_3-3\vec{u}_4$    

により与えられているとする. このとき,

$\displaystyle \left(\vec{v}_1,\,\, \vec{v}_2,\,\, \vec{v}_3,\,\, \vec{v}_4\righ...
...bmatrix} = \left(\vec{u}_1,\,\, \vec{u}_2,\,\, \vec{u}_3,\,\, \vec{u}_4\right)A$    

となる. $ \vec{v}_1,\cdots,\vec{v}_4$ の 1 次関係は

$\displaystyle \vec{0}$ $\displaystyle =c_1\vec{v}_1+\cdots+c_4\vec{v}_4= \left(\vec{v}_1,\,\, \cdots,\,...
...v}_4\right)\vec{c} = \left(\vec{u}_1,\,\, \cdots,\,\, \vec{u}_4\right)A \vec{c}$    
  $\displaystyle = \left(\vec{u}_1,\,\, \cdots,\,\, \vec{u}_4\right)\vec{\tilde{c}}$    

である. ここで $ A\vec{c}=\vec{\tilde{c}}$ とおいた. これは $ \vec{u}_1,\cdots,\vec{u}_4$ の 1 次関係ともみなせる. $ \vec{u}_1,\cdots,\vec{u}_4$ は 1 次独立であるから, 自明な係数 $ \vec{\tilde{c}}=\vec{0}$ のみをもつ. よって $ A\vec{c}=\vec{0}$ が成り立つ. $ A$ を簡約化すると

$\displaystyle A\quad\to\quad \begin{bmatrix}1 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 & -1 \\ 0 & 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}$    

であり, $ \mathrm{rank}\,(A)=3$ より, 解は非自明な解

$\displaystyle \vec{c}= \begin{bmatrix}c_1 \\ c_2 \\ c_3 \\ c_4 \end{bmatrix} = ...
...rix} = c \begin{bmatrix}-1 \\ 1 \\ -1 \\ 1 \end{bmatrix}, \qquad c\in\mathbb{R}$    

をもつ. よって $ \vec{v}_1,\cdots,\vec{v}_4$ の 1 次関係は

$\displaystyle \vec{0}$ $\displaystyle = -c\vec{v_1} +c\vec{v_2} -c\vec{v_3} +c\vec{v_4}$    
$\displaystyle \vec{0}$ $\displaystyle = -\vec{v_1} +\vec{v_2} -\vec{v_3} +\vec{v_4}$    

となる. 非自明な 1 次関係であるから, $ \vec{v}_1,\cdots,\vec{v}_4$ は 1 次従属である.

Kondo Koichi
平成18年1月17日